Pola figur — sprawdzian z matematyki, klasa 5

Wysokość figury — pojęcie, które porządkuje cały dział

Wszystkie nowe wzory tego działu mają w sobie wysokość i dopóki to pojęcie nie siedzi, żaden z nich nie zadziała. Wysokość figury to odcinek prostopadły do wybranej podstawy, poprowadzony od niej do przeciwległego wierzchołka albo do przeciwległego boku. Słowo „prostopadły” jest tutaj najważniejsze: wysokość musi tworzyć z podstawą kąt prosty, a nie po prostu łączyć dwa punkty figury.

W prostokącie wysokość pokrywa się z bokiem i dlatego w klasie czwartej nikt o niej nie mówił — mnożyło się po prostu dwa boki. W równoległoboku, trójkącie i trapezie wysokość jest osobnym odcinkiem, zwykle narysowanym w środku figury linią przerywaną. To ona wchodzi do wzoru, nie bok skośny.

Druga rzecz, którą trzeba przyjąć od razu: wysokość zależy od wybranej podstawy. Ta sama figura ma kilka wysokości, po jednej dla każdego boku, który można uznać za podstawę. Dlatego w zadaniu zawsze patrzy się, przy którym boku stoi liczba opisana jako wysokość, i ten bok bierze się za podstawę.

Trzecia, najmniej oczywista: wysokość może leżeć poza figurą. W trójkącie rozwartokątnym odcinek prostopadły do jednej z krótszych podstaw trafia obok figury, więc rysuje się go na przedłużeniu boku. Wzór pozostaje ten sam i wynik jest poprawny, choć rysunek wygląda dziwnie. Arkusze lubią to sprawdzać, bo uczniowie uznają wtedy, że zadanie jest niemożliwe, i opuszczają je bez próby.

Warto też od pierwszej lekcji odróżniać wysokość od przekątnej, bo oba odcinki rysuje się w środku figury. Przekątna łączy dwa przeciwległe wierzchołki i prawie nigdy nie jest prostopadła do boku. Wysokość zaczyna się w wierzchołku albo na boku i kończy znaczkiem kąta prostego. W zadaniu te dwa odcinki bywają podpisane obok siebie i tylko ten znaczek rozstrzyga, który jest który.

Pole równoległoboku: podstawa razy wysokość

Równoległobok ma dwa boki równoległe parami i cztery kąty, z których żaden nie musi być prosty. Jego pole liczy się jako iloczyn podstawy i wysokości opuszczonej na tę podstawę. Dla równoległoboku o podstawie 8 i wysokości 5 wychodzi 8 × 5 = 40. Dla podstawy 12 i wysokości 7 mamy 12 × 7 = 84.

Skąd się bierze ten wzór, da się pokazać w jednym ruchu. Jeśli od równoległoboku odciąć trójkąt wzdłuż wysokości i przyłożyć go z drugiej strony, powstanie prostokąt o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Pole się nie zmieniło, bo nic nie dodaliśmy i nic nie zabraliśmy, więc pole równoległoboku musi być równe polu tego prostokąta.

Równoległobok ma dwie pary boków i dwie wysokości, więc pole można policzyć na dwa sposoby i oba muszą dać ten sam wynik. Jeśli jedna podstawa ma 8, a odpowiadająca jej wysokość 5, to pole wynosi 40. Gdy druga podstawa ma 10, to druga wysokość musi wynosić 4, bo 10 × 4 = 40. Z tej samej zależności korzystają zadania, w których podane są trzy liczby, a czwartą trzeba wyliczyć.

Wzór działa też wtedy, gdy liczby nie są całkowite, a wtedy warto zapisać je w postaci dziesiętnej i mnożyć jak zwykle. Równoległobok o podstawie 6 i wysokości 2,5 ma pole 15, bo 6 × 2,5 = 15. Równoległobok o podstawie 4 i wysokości 3,5 ma pole 14, bo 4 × 3,5 = 14. Nic w sposobie liczenia się nie zmienia, zmienia się tylko staranność przy przecinku.

Pole trójkąta i trzy pary podstawa–wysokość

Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości. Rachunek rozbija się na dwa kroki i warto je zapisywać osobno, bo wtedy nie gubi się dzielenia. Dla podstawy 10 i wysokości 6 najpierw 10 × 6 = 60, a potem 60 : 2 = 30. Dla podstawy 7 i wysokości 4 najpierw 7 × 4 = 28, a dalej 28 : 2 = 14.

Wzór bierze się z prostego spostrzeżenia: każdy trójkąt jest dokładnie połową równoległoboku o tej samej podstawie i tej samej wysokości. Wystarczy dostawić do niego drugi, obrócony trójkąt tych samych wymiarów, żeby powstała figura o polu dwa razy większym.

Najważniejsza rzecz w tej części działu dotyczy jednak nie samego wzoru, a danych. Trójkąt ma trzy boki, więc ma też trzy wysokości i trzy pary, z których każda daje to samo pole. Dlatego w zadaniu trzeba znaleźć parę, która do siebie należy, i nie wolno mieszać podstawy z jednej pary z wysokością z drugiej.

W trójkącie prostokątnym sprawa jest wygodniejsza, bo dwie przyprostokątne są jednocześnie podstawą i wysokością. Dla przyprostokątnych 6 i 9 pole wynosi 27, bo najpierw 6 × 9 = 54, a potem 54 : 2 = 27. Przeciwprostokątna do tego rachunku nie wchodzi, choć zwykle jest w zadaniu podana.

Przydaje się jeszcze jedno spostrzeżenie, o które pytają zadania z rysunkiem: wszystkie trójkąty o tej samej podstawie i tej samej wysokości mają równe pola, nawet jeśli wyglądają zupełnie inaczej. Trójkąt wąski i trójkąt rozwarty o podstawie 12 i wysokości 5 mają po 30, bo 12 × 5 = 60, a dalej 60 : 2 = 30. Kształt nie ma tu żadnego znaczenia.

Pole rombu: dwa wzory do wyboru

Romb to równoległobok, w którym wszystkie cztery boki są równe. Z tego wynika rzecz praktyczna: pole rombu można policzyć zwykłym wzorem na pole równoległoboku, czyli podstawa razy wysokość. Dla rombu o boku 5 i wysokości 4,8 daje to 5 × 4,8 = 24.

Jest jednak drugi wzór, wygodniejszy, bo w zadaniach zwykle podane są przekątne, a nie wysokość. Pole rombu to połowa iloczynu długości przekątnych. Dla przekątnych 8 i 6 najpierw 8 × 6 = 48, a potem 48 : 2 = 24 — i jest to ten sam romb co wyżej, bo oba wzory muszą dać identyczny wynik.

Wzór z przekątnymi działa dlatego, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą go na cztery jednakowe trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma przyprostokątne równe połowom przekątnych, czyli 4 i 3, więc jego pole wynosi 6, bo 4 × 3 = 12, a dalej 12 : 2 = 6. Cztery takie trójkąty dają 4 × 6 = 24, czyli tyle samo co wzór skrócony.

Ten sam wzór z przekątnymi stosuje się też do kwadratu, bo kwadrat jest rombem o kątach prostych. Kwadrat o przekątnych 6 i 6 ma pole 18, bo 6 × 6 = 36, a potem 36 : 2 = 18. To bywa jedyny sposób rozwiązania zadania, w którym bok kwadratu nie jest podany.

Przekątne rombu są też jedyną drogą do rozwiązania zadań o latawcu albo o szybie w kształcie rombu, w których wysokość w ogóle nie jest podana. Dlatego wzór z połową iloczynu przekątnych warto znać na pamięć, a nie wyprowadzać go za każdym razem z czterech trójkątów. Dwa zapisy na jednej kartce w piórniku wystarczają na cały dział.

Pole trapezu i połowa sumy podstaw

Trapez ma dwa boki równoległe, nazywane podstawami, i to je wpisuje się do wzoru. Pole trapezu to połowa sumy podstaw pomnożona przez wysokość. Rachunek najlepiej rozpisać na trzy kroki, bo wtedy nic nie ginie. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 wygląda to tak: najpierw 10 + 6 = 16, potem 16 × 4 = 64, a na koniec 64 : 2 = 32.

Dla podstaw 9 i 5 oraz wysokości 6 kroki są takie same: 9 + 5 = 14, dalej 14 × 6 = 84, a na końcu 84 : 2 = 42. Kolejność dwóch ostatnich działań można zamienić — wolno najpierw podzielić sumę podstaw przez dwa, a potem pomnożyć przez wysokość. Dla pierwszego przykładu daje to 16 : 2 = 8, a potem 8 × 4 = 32, czyli dokładnie tyle samo.

Skąd się bierze połowa sumy, widać po dostawieniu drugiego, obróconego trapezu. Dwa jednakowe trapezy złożone razem tworzą równoległobok o podstawie równej sumie obu podstaw i o tej samej wysokości. Jego pole dla pierwszego przykładu wynosi 64, bo 16 × 4 = 64, a nasz trapez jest jego połową. W trapezie prostokątnym jeden z boków bocznych jest jednocześnie wysokością, więc nie trzeba jej szukać — i to właśnie ten typ pojawia się w arkuszu najczęściej.

Trapez bywa też podany bez jawnej wysokości, a zamiast niej z opisem w treści, na przykład „odległość między podstawami wynosi cztery”. To dokładnie to samo, bo wysokość trapezu jest właśnie odległością między jego podstawami. Przy podstawach 10 i 6 daje to 16 × 4 = 64, a potem 64 : 2 = 32, tak samo jak przy wysokości podanej przy rysunku.

Dane zbędne, czyli bok, który nie jest wysokością

To najważniejszy fragment całego działu, bo tu przepada najwięcej punktów. Zadania z pól figur prawie zawsze podają więcej liczb, niż potrzeba, i jedna z nich jest przygotowana specjalnie po to, żeby trafiła do wzoru przez pomyłkę. W równoległoboku takim intruzem jest bok skośny, w trójkącie przeciwprostokątna albo drugi bok, w trapezie bok boczny.

Przykład: równoległobok ma podstawę 8, wysokość 5 i bok skośny 6. Poprawne pole to 40, bo 8 × 5 = 40. Jeśli ktoś weźmie do wzoru bok skośny, policzy 8 × 6 = 48 i dostanie wynik większy od prawdziwego, mimo że rachunek wykonał bez błędu. Punkt przepada na wyborze danych, nie na mnożeniu.

Istnieje prosty test, który chroni przed tą pomyłką. Wysokość jest zawsze krótsza od boku skośnego albo mu równa, nigdy dłuższa. Jeśli więc liczba podpisana przy odcinku przerywanym jest większa niż bok, coś zostało źle odczytane z rysunku. Drugi test jest jeszcze szybszy: wysokość rysuje się linią przerywaną i kończy znaczkiem kąta prostego, a bok linią ciągłą. Przed podstawieniem do wzoru warto spojrzeć na rysunek i upewnić się, która liczba stoi przy której linii.

Istnieje też odwrotna wersja tej pułapki: zadanie podaje dokładnie tyle liczb, ile potrzeba, ale jedna z nich dotyczy innej pary niż pozostałe. Wtedy nie ma danych zbędnych, a jest dana niepasująca, i trzeba albo policzyć brakującą wielkość, albo zauważyć, że zadania nie da się rozwiązać podanym wzorem. Takie polecenia pojawiają się zwykle jako ostatnie, najwyżej punktowane.

Zamiana jednostek pola: mnożnik sto, ar i hektar

W klasie czwartej wystarczyło nazwać jednostkę pola. Teraz trzeba ją przeliczyć, a reguła jest inna niż przy długościach i właśnie dlatego sprawia kłopot. Przy długościach kolejne jednostki różnią się dziesięć razy. Przy polach różnią się sto razy, bo w kwadracie o boku dziesięć razy większym mieści się dziesięć rzędów po dziesięć kwadracików, czyli 10 × 10 = 100 sztuk.

Stąd wszystkie przeliczenia. Z decymetrów kwadratowych na centymetry kwadratowe mnoży się przez sto: trzy decymetry kwadratowe to 3 × 100 = 300 centymetrów kwadratowych. Z metrów kwadratowych na decymetry kwadratowe tak samo: pięć metrów kwadratowych to 5 × 100 = 500 decymetrów kwadratowych. Z metrów kwadratowych wprost na centymetry kwadratowe mnożnik jest już dziesięć tysięcy, bo 100 × 100 = 10000, więc dwa metry kwadratowe to 2 × 10000 = 20000 centymetrów kwadratowych. W drugą stronę się dzieli: siedemset centymetrów kwadratowych to 700 : 100 = 7 decymetrów kwadratowych.

Dwie nowe jednostki pojawiają się w zadaniach o działkach i polach uprawnych. Ar to kwadrat o boku dziesięciu metrów, czyli sto metrów kwadratowych. Hektar to kwadrat o boku stu metrów, czyli sto arów, a w metrach kwadratowych wychodzi 4 × 10000 = 40000 dla czterech hektarów. Zamiana w drugą stronę też bywa pytana: działka o polu dwa tysiące pięćset metrów kwadratowych ma 2500 : 100 = 25 arów.

Przy zadaniach z działkami pojawia się jeszcze jeden krok, o którym łatwo zapomnieć: wymiary bywają podane w metrach, a odpowiedź ma być w arach. Prostokątna działka o wymiarach 50 i 40 ma pole 2000, bo 50 × 40 = 2000, a to po przeliczeniu daje 2000 : 100 = 20 arów. Wzór i przeliczenie to dwa osobne kroki i każdy jest punktowany.

Zadania odwrotne: z pola do wysokości

Druga połowa punktów w arkuszu leży w zadaniach, w których pole jest dane, a szukana jest jedna z liczb wchodzących do wzoru. Trzeba wtedy odwrócić kolejność działań i właśnie na tym odwróceniu uczniowie się gubią, bo dla każdej figury wygląda ono inaczej.

W równoległoboku jest najprościej, bo wzór ma jedno działanie. Jeśli pole wynosi 40, a podstawa 8, to wysokość wynika z dzielenia: 40 : 8 = 5. Sprawdzenie zajmuje linijkę, bo 8 × 5 = 40.

W trójkącie trzeba najpierw cofnąć dzielenie przez dwa, czyli pomnożyć pole przez dwa, a dopiero potem dzielić. Jeśli pole trójkąta to 30, a podstawa 10, liczymy 30 × 2 = 60, a następnie 60 : 10 = 6. Pominięcie pierwszego kroku daje wysokość dwa razy mniejszą i jest to najczęstszy błąd w tej grupie zadań.

W rombie postępuje się tak samo: pole 24 i jedna przekątna 8 dają najpierw 24 × 2 = 48, a potem 48 : 8 = 6. W trapezie dochodzi jeszcze jedno odejmowanie. Jeśli pole wynosi 32, wysokość 4, a jedna podstawa 10, to kolejno 32 × 2 = 64, dalej 64 : 4 = 16, co jest sumą obu podstaw, a na koniec 16 - 10 = 6 — i to jest druga podstawa.

Zadania odwrotne bywają też osłonięte treścią, w której pole nie jest nazwane wprost. Zdanie „na pomalowanie trójkątnego żagla zużyto farbę na trzydzieści jednostek powierzchni” to po prostu pole równe 30, a dalej liczy się jak zwykle: 30 × 2 = 60, a potem 60 : 10 = 6. Pierwszy krok w takich zadaniach polega na wypisaniu danych z treści osobno.

Plan powtórki: cztery sesje po jednym wzorze

Ten dział powtarza się najskuteczniej wzór po wzorze, a nie wszystko naraz. Cztery sesje po dwadzieścia pięć minut wystarczają, jeśli każda kończy się dwoma zadaniami odwrotnymi.

Sesja pierwsza należy do wysokości i równoległoboku. Zaczyna się od narysowania trzech różnych równoległoboków i wrysowania w każdy wysokości linią przerywaną wraz ze znaczkiem kąta prostego. Potem liczy się pięć pól w przód i dwa odwrotne. Na koniec warto wziąć jeden równoległobok i policzyć jego pole dwa razy, raz dla każdej pary podstawy i wysokości, żeby zobaczyć, że wynik jest ten sam.

Sesja druga to trójkąt. Najpierw rysuje się trójkąt ostrokątny i rozwartokątny, w drugim wysokość wypadnie poza figurą — i właśnie o to chodzi, żeby zobaczyć to raz spokojnie, a nie na sprawdzianie. Potem pięć pól w przód, dwa odwrotne i jedno zadanie z trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna jest daną zbędną.

Sesja trzecia obejmuje romb i trapez. Dla rombu liczy się trzy pola z przekątnych i jedno z boku i wysokości. Dla trapezu pięć pól, z czego dwa dla trapezu prostokątnego, oraz jedno zadanie odwrotne na drugą podstawę. Warto zapisać oba wzory na jednej kartce i nosić ją w piórniku.

Sesja czwarta to wyłącznie jednostki. Dziesięć przeliczeń w obie strony, pięć zadań z arami i hektarami, a na końcu dwa zadania mieszane, w których pole liczy się ze wzoru, a odpowiedź trzeba podać w innej jednostce niż dane. To ostatnie ćwiczenie najlepiej odsłania, czy mnożnik sto naprawdę siedzi w pamięci.

Na początku każdej sesji dobrze jest odtworzyć z pamięci wszystkie cztery wzory i dopiero potem zaglądać do zeszytu. Jeśli któryś wzór nie przychodzi w ciągu kilku sekund, to on wymaga powtórki, a nie ten, który właśnie był ćwiczony. Taki krótki test na wejściu zajmuje minutę, a zwykle przestawia plan całego wieczoru.

Co sprawdza nasz arkusz z pól figur

Arkusz do tego działu prowadzi przez wszystkie wzory w tej samej kolejności, w jakiej wprowadza je szkoła, i kończy się zadaniami łączonymi. Otwierają go zadania na rozpoznanie wysokości na rysunku oraz na wskazanie, które dane są potrzebne do wzoru — bez liczenia, tylko z odczytu. Dalej idą pola równoległoboku i trójkąta w wersji podstawowej, po dwa zadania na każdy wzór.

Środek arkusza zajmują romb i trapez, w tym jedno zadanie z rombem, w którym podany jest bok i wysokość zamiast przekątnych, oraz dwa trapezy prostokątne. Potem jest blok na jednostki: przeliczenia w obie strony, zadanie z arami i zadanie z hektarami w kontekście działki. Na końcu czekają trzy zadania odwrotne, po jednym dla trójkąta, rombu i trapezu, oraz jedno zadanie tekstowe z figurą złożoną z trapezu i trójkąta.

Do każdego działu dostajesz dwie równoważne wersje arkusza, grupę A i grupę B, z tymi samymi typami zadań i tą samą punktacją, ale z innymi liczbami — jedną warto zrobić na początku powtórki, drugą dzień przed sprawdzianem. W paczce są też krótkie kartkówki na pojedyncze wzory, osobno na trapez i osobno na jednostki pola, przydatne wtedy, gdy wiadomo już, który fragment kuleje. Każdy arkusz ma klucz odpowiedzi z punktacją rozpisaną na kroki, więc widać, czy punkt przepadł na doborze danych, na dzieleniu przez dwa, czy na jednostce w odpowiedzi. Pliki są w formacie PDF, gotowe do druku, bez znaków wodnych i bez reklam.

Zadanie z figurą złożoną warto zostawić na koniec, bo łączy wszystko: trzeba rozpoznać, z jakich figur składa się rysunek, dobrać wzór do każdej z nich, policzyć pola osobno i dodać. Klucz rozbija punkty na te etapy, więc nawet przy pomyłce w jednym rachunku pozostałe kroki nadal są punktowane.

Najczęstsze błędy przy wzorach na pole

Pierwszy i najczęstszy to wzięcie boku skośnego w miejsce wysokości. Równoległobok o podstawie 8 i wysokości 5 ma pole 40, a nie 48, które wychodzi po pomnożeniu podstawy przez bok. Ochronę daje jedna zasada: do wzoru wchodzi tylko liczba stojąca przy odcinku prostopadłym.

Drugi błąd to pominięcie dzielenia przez dwa w trójkącie. Rachunek 12 × 5 = 60 jest poprawny, ale to jeszcze nie pole — trzeba dopisać 60 : 2 = 30. Trzeci jest odwrotnością drugiego: dzielenie przez dwa tam, gdzie nie trzeba, czyli w równoległoboku. Pole 8 × 5 = 40 nie dzieli się już przez nic.

Czwarty dotyczy rombu i polega na pomnożeniu przekątnych bez połowienia. Przekątne 8 i 6 dają 8 × 6 = 48, a pole rombu to 48 : 2 = 24. Piąty siedzi w trapezie: suma podstaw bywa mnożona przez wysokość i podawana jako wynik, bez ostatniego kroku. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 wynikiem jest 32, a nie 64.

Szósty błąd to mieszanie podstawy z jednej pary z wysokością z drugiej. W trójkącie o bokach 12 i 15 z wysokościami 5 i 4 pole wynosi 30, bo 12 × 5 = 60, a dalej 60 : 2 = 30. Ten sam trójkąt policzony z drugiej pary daje 15 × 4 = 60, a potem 60 : 2 = 30 — i tylko te dwa zestawienia są poprawne.

Siódmy błąd to przeliczanie jednostek pola mnożnikiem dziesięć zamiast sto. Trzy decymetry kwadratowe to 3 × 100 = 300 centymetrów kwadratowych, a nie trzydzieści. Ósmy, najcichszy, to podanie wyniku w jednostkach długości — wtedy rachunek jest bez zarzutu, a punkt i tak przepada na ostatniej linijce.

Dziewiąty błąd dotyczy zapisu kroków. Uczeń liczy wszystko w pamięci i wpisuje tylko wynik, a gdy wynik jest zły, nie ma za co przyznać punktów częściowych. Wystarczy zapisać wzór, podstawienie i dwa działania, żeby przy pomyłce w jednym z nich nie przepadło całe zadanie — i dlatego w naszym kluczu punkty są rozpisane właśnie na te kroki.