Figury na płaszczyźnie — sprawdzian z matematyki, klasa 6

Kąty przyległe i wierzchołkowe — dwa fakty, z których wynika reszta

Dwa kąty są przyległe, gdy mają wspólny wierzchołek, wspólne jedno ramię, a pozostałe ramiona tworzą razem prostą. Takie kąty dają w sumie sto osiemdziesiąt stopni i to jest pierwszy fakt, którego potrzebuje ten dział. Jeśli jeden z kątów przyległych ma miarę 125, drugi wynosi 180 - 125 = 55. Jeśli pierwszy ma 48, drugi to 180 - 48 = 132.

Dwa kąty są wierzchołkowe, gdy ramiona jednego są przedłużeniami ramion drugiego. Kąty wierzchołkowe są równe i to jest fakt drugi. Dlatego na rysunku z dwiema przecinającymi się prostymi powstają cztery kąty, ale wystarczy znać jeden, żeby podać wszystkie. Przy kącie 125 kąt wierzchołkowy też ma 125, a dwa pozostałe mają po 55 każdy, bo 180 - 125 = 55. Suma wszystkich czterech wynosi 360, co widać z rachunku 125 + 125 = 250, a dalej 250 + 110 = 360.

Trzeci fakt, mniej eksponowany, dotyczy kątów dopełniających się do kąta prostego. Jeżeli dwa kąty razem tworzą kąt prosty, to ich suma wynosi dziewięćdziesiąt stopni, więc przy danym 35 drugi wynosi 90 - 35 = 55. Ten przypadek wraca w trójkącie prostokątnym i warto go rozpoznawać osobno, żeby nie szukać za każdym razem wszystkich trzech kątów.

W arkuszu pojawia się też rysunek z trzema prostymi przechodzącymi przez jeden punkt, na którym powstaje sześć kątów. Zasada jest ta sama: kąty wierzchołkowe są równe, a kąty leżące obok siebie na jednej prostej dopełniają się do stu osiemdziesięciu. Przy danych 40 i 60 trzeci kąt na tej samej prostej wynosi 180 - 100 = 80.

Kąty przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią

Ten rysunek pojawia się w arkuszu zawsze i wygląda groźnie, bo widać na nim osiem kątów. W rzeczywistości są tylko dwie różne miary i wystarczy znać jedną z nich. Kąty odpowiadające, czyli leżące po tej samej stronie prostej przecinającej i po tej samej stronie obu prostych równoległych, są równe. Kąty naprzemianległe, leżące po przeciwnych stronach prostej przecinającej, też są równe.

Trzecia zależność dotyczy kątów leżących po tej samej stronie prostej przecinającej, między prostymi równoległymi — one sumują się do stu osiemdziesięciu stopni. Jeśli jeden z nich ma 70, drugi wynosi 180 - 70 = 110.

W praktyce całe zadanie sprowadza się do jednej decyzji: czy szukany kąt ma tę samą miarę co dany, czy miarę dopełniającą do stu osiemdziesięciu. Rozstrzyga to wygląd rysunku — kąty „otwierające się” w tę samą stronę są równe, a kąty otwierające się przeciwnie dopełniają się do kąta półpełnego.

Warunek równoległości jest przy tym niezbędny i arkusze o tym pamiętają. Jeśli w treści nie napisano, że proste są równoległe, i nie zaznaczono tego strzałkami na rysunku, żadnej z tych zależności nie wolno użyć. Pojawia się też zadanie odwrotne: dane są dwa kąty i trzeba ocenić, czy proste są równoległe. Odpowiedź brzmi „tak” tylko wtedy, gdy kąty odpowiadające są równe albo gdy jednostronne wewnętrzne dają razem 180, czyli na przykład 70 + 110 = 180.

Zadania z tej grupy bywają też zapisane bez rysunku, samym opisem. Zdanie „dwie proste równoległe przecięto trzecią, a jeden z kątów ma siedemdziesiąt stopni” wymaga wtedy narysowania sytuacji samemu, i właśnie ten rysunek jest pierwszym punktowanym krokiem. Bez niego trudno rozstrzygnąć, która para kątów jest o co pytana.

Suma kątów w trójkącie i co z niej wynika

Kąty każdego trójkąta dają razem sto osiemdziesiąt stopni, niezależnie od jego kształtu i wielkości. To jedno zdanie rozwiązuje w arkuszu kilka zadań. Jeśli dwa kąty mają 50 i 60, to trzeci wynika z dwóch kroków: najpierw 50 + 60 = 110, a potem 180 - 110 = 70. Dla kątów 35 i 85 wychodzi 35 + 85 = 120, a dalej 180 - 120 = 60.

Z tego faktu wynikają trzy rzeczy, o które pytają zadania teoretyczne. Pierwsza: trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych, bo 90 + 90 = 180 i na trzeci kąt nie zostałoby nic. Druga: trójkąt nie może mieć dwóch kątów rozwartych z tego samego powodu. Trzecia: w trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre sumują się do dziewięćdziesięciu stopni, bo po odjęciu kąta prostego zostaje 180 - 90 = 90. Dlatego przy danym kącie ostrym 35 drugi wynosi 90 - 35 = 55.

W arkuszu pojawia się też kąt zewnętrzny trójkąta, czyli kąt przyległy do kąta wewnętrznego. Liczy się go tak samo jak każdy kąt przyległy: przy kącie wewnętrznym 70 kąt zewnętrzny wynosi 180 - 70 = 110. Warto zauważyć, że ta sama liczba jest sumą dwóch pozostałych kątów wewnętrznych — jeśli mają one 50 i 60, to 50 + 60 = 110. Ta zależność skraca niektóre zadania o jeden krok.

Przydaje się jeszcze jedno spostrzeżenie o kątach trójkąta: najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a najkrótszy naprzeciw najmniejszego. Dlatego w trójkącie o kątach 50, 60 i 70 boki da się uporządkować bez żadnego pomiaru. Zadania z tą zależnością pojawiają się jako polecenia typu „wskaż najdłuższy bok”.

Rodzaje trójkątów i kąty w trójkątach szczególnych

Trójkąty dzieli się na dwa niezależne sposoby i oba bywają pytane w jednym zadaniu. Według kątów trójkąt jest ostrokątny, gdy wszystkie jego kąty są ostre, prostokątny, gdy jeden jest prosty, i rozwartokątny, gdy jeden jest rozwarty. Według boków jest różnoboczny, równoramienny albo równoboczny. Te dwa podziały krzyżują się, więc istnieje trójkąt równoramienny prostokątny i trójkąt równoramienny rozwartokątny.

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty są równe, więc każdy ma 60, bo 180 : 3 = 60. To najprostszy rachunek w całym dziale i warto go znać bez liczenia.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe i z tego biorą się dwa typowe zadania. Pierwsze podaje kąt między ramionami: jeśli ma on 40, to na dwa kąty przy podstawie zostaje 180 - 40 = 140, więc każdy z nich wynosi 140 : 2 = 70. Drugie podaje kąt przy podstawie: jeśli ma on 50, to oba przy podstawie dają 2 × 50 = 100, a kąt między ramionami wynosi 180 - 100 = 80.

Trójkąt równoramienny prostokątny zasługuje na osobną linijkę, bo wraca w zadaniach z kwadratem przeciętym przekątną. Kąt między ramionami jest prosty, więc na dwa równe kąty przy podstawie zostaje 180 - 90 = 90, a każdy z nich wynosi 90 : 2 = 45.

Oba podziały trójkątów bywają łączone w zadaniu z tabelą, w której trzeba zaznaczyć, czy dany trójkąt istnieje. Trójkąt równoboczny prostokątny nie istnieje, bo wszystkie jego kąty mają po 60, a trójkąt równoboczny rozwartokątny również nie, z tego samego powodu. Trójkąt równoramienny może być natomiast ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny.

Nierówność trójkąta — kiedy trójkąta nie da się zbudować

Nie z każdych trzech odcinków powstanie trójkąt i to jest osobne, bardzo chętnie punktowane zadanie. Warunek brzmi: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Wystarczy sprawdzić tę jedną sumę, bo dla pozostałych par warunek spełni się automatycznie.

Dla boków 3, 4 i 5 liczymy 3 + 4 = 7 i porównujemy z 5. Siedem jest większe od pięciu, więc trójkąt istnieje. Dla boków 2, 3 i 6 mamy 2 + 3 = 5, a to mniej niż 6, więc trójkąta zbudować się nie da — krótsze odcinki nie dosięgną końców najdłuższego.

Przypadek graniczny jest najciekawszy i arkusze go lubią. Dla boków 5, 5 i 10 suma krótszych wynosi 5 + 5 = 10, czyli dokładnie tyle, ile najdłuższy bok. Trójkąt wtedy nie powstaje, bo oba krótsze odcinki ułożą się płasko na najdłuższym i nie będzie żadnego wierzchołka. Warunek wymaga, żeby suma była większa, a nie równa.

Pojawia się też wersja z niewiadomą: dwa boki mają 4 i 9, a trzeci jest szukany. Z jednej strony musi być krótszy niż 13, bo 4 + 9 = 13, a z drugiej dłuższy niż 5, bo 9 - 4 = 5. Odpowiedzią jest więc każda długość między tymi dwiema liczbami, a w zadaniach z liczbami naturalnymi wypisuje się je po kolei od 6 do 12.

Warunek sprawdza się też szybciej, gdy boki są podane w innej kolejności niż od najmniejszego. Wtedy najpierw wypisuje się je rosnąco, a dopiero potem dodaje dwa pierwsze. Dla boków 9, 6 i 8 porządek daje 6, 8 i 9, więc liczymy 6 + 8 = 14 i porównujemy z 9 — trójkąt istnieje. Bez porządkowania łatwo porównać złą parę.

Czworokąty jako jedna rodzina i ich przekątne

W klasie czwartej czworokąty poznawało się pojedynczo. Teraz trzeba widzieć między nimi zależności, bo pytania brzmią „czy każdy kwadrat jest rombem” i odpowiedzi nie da się zgadnąć. Porządek jest następujący: trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, równoległobok ma dwie takie pary, romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat ma jedno i drugie, więc jest jednocześnie rombem i prostokątem.

Z tego porządku wynikają odpowiedzi, które w arkuszu są punktowane. Każdy kwadrat jest rombem, ale nie każdy romb jest kwadratem. Każdy prostokąt jest równoległobokiem, ale nie każdy równoległobok jest prostokątem. Każdy równoległobok jest trapezem, bo ma pary boków równoległych.

Drugą połowę zadań z tej części rozstrzygają przekątne i warto mieć je zebrane w jednym miejscu. W równoległoboku przekątne dzielą się na połowy. W prostokącie są dodatkowo równej długości. W rombie przecinają się pod kątem prostym. W kwadracie zachodzą wszystkie trzy warunki naraz, bo kwadrat jest i rombem, i prostokątem.

Zadania na tę tabelę mają zwykle formę zdań do oceny: „przekątne rombu są równej długości” jest fałszem, a „przekątne kwadratu są prostopadłe” prawdą. Najszybciej sprawdza się je rysunkiem: wystarczy narysować wyraźnie wydłużony romb, żeby zobaczyć, że jego przekątne mają bardzo różne długości.

Osobną grupą są zadania o deltoidzie, który ma dwie pary boków równych, ale sąsiednich, a nie przeciwległych. Jego przekątne są prostopadłe, lecz tylko jedna z nich dzieli drugą na połowy. Deltoid nie jest równoległobokiem i to bywa punktowane w zdaniach do oceny, bo jego rysunek przypomina romb.

Suma kątów w czworokącie i kąt brakujący

Kąty każdego czworokąta dają razem trzysta sześćdziesiąt stopni. Powód jest prosty i warto go umieć powiedzieć: przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a każdy z nich ma sumę kątów równą stu osiemdziesięciu, więc razem 2 × 180 = 360.

Najczęstsze zadanie podaje trzy kąty i każe policzyć czwarty. Dla kątów 80, 95 i 100 najpierw dodajemy 80 + 95 = 175, dalej 175 + 100 = 275, a na koniec 360 - 275 = 85. Dla kątów 70, 110 i 60 wychodzi 70 + 110 = 180, potem 180 + 60 = 240, a czwarty kąt to 360 - 240 = 120.

W czworokątach szczególnych nie trzeba znać aż trzech kątów. W równoległoboku kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do stu osiemdziesięciu, więc przy danym kącie 70 sąsiedni wynosi 180 - 70 = 110, a dalej już wszystkie są znane. W trapezie kąty przy tym samym boku bocznym dają razem 180, więc przy danym 65 drugi to 180 - 65 = 115.

Pojawia się też zadanie z kątami opisanymi słowami, na przykład „trzy kąty czworokąta są równe, a czwarty ma sto dwadzieścia stopni”. Wtedy liczy się najpierw 360 - 120 = 240, a potem dzieli przez trzy, czyli 240 : 3 = 80 — i tyle ma każdy z pozostałych kątów.

Zdarza się również zadanie z kątem zewnętrznym czworokąta albo z kątami opisanymi przez porównanie, na przykład „drugi kąt jest dwa razy większy od pierwszego”. Wtedy wygodnie podstawić liczby próbnie: jeśli pierwszy ma 40, drugi ma 80, bo 2 × 40 = 80, i sprawdza się, czy suma czterech kątów daje 360.

Wielokąty foremne i liczba przekątnych

Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe. Kwadrat jest czworokątem foremnym, a trójkąt równoboczny trójkątem foremnym. Dalej idą pięciokąt, sześciokąt i ośmiokąt foremny, które pojawiają się w zadaniach o kątach.

Miarę kąta wielokąta foremnego liczy się w dwóch krokach i pierwszy z nich polega na podzieleniu figury przekątnymi z jednego wierzchołka na trójkąty. W pięciokącie powstają trzy trójkąty, więc suma kątów wynosi 3 × 180 = 540, a jeden kąt to 540 : 5 = 108. W sześciokącie powstają cztery trójkąty, czyli 4 × 180 = 720, a jeden kąt to 720 : 6 = 120. W ośmiokącie jest sześć trójkątów, więc 6 × 180 = 1080, a jeden kąt wynosi 1080 : 8 = 135.

Druga grupa zadań dotyczy przekątnych. Przekątna łączy dwa wierzchołki, które nie są sąsiednie, więc z każdego wierzchołka wychodzi ich o trzy mniej, niż jest wierzchołków. W pięciokącie z jednego wierzchołka wychodzą dwie przekątne, a wszystkich jest pięć, bo 5 × 2 = 10, a dalej 10 : 2 = 5 — dzielimy przez dwa, bo każdą przekątną policzyliśmy dwukrotnie, raz z każdego końca. W sześciokącie wychodzi 6 × 3 = 18, a potem 18 : 2 = 9. W czworokącie są tylko dwie, bo 4 × 1 = 4, a dalej 4 : 2 = 2.

Wielokąty foremne wracają też w zadaniach o parkietażu, czyli o wypełnianiu płaszczyzny bez szczelin. Sześciokąty foremne pasują do siebie dokładnie, bo przy jednym punkcie spotykają się trzy kąty po 120, a 3 × 120 = 360. Pięciokątami foremnymi nie da się wypełnić płaszczyzny, bo 3 × 108 = 324 i zostaje szczelina.

Plan powtórki: cztery sesje z ekierką i kątomierzem

Ten dział powtarza się najlepiej wtedy, gdy każda sesja kończy się zadaniem z rysunkiem, a nie samym rachunkiem. Cztery spotkania po pół godziny pokrywają cały zakres.

Sesja pierwsza należy do kątów przy przecinających się prostych. Na początku rysuje się dwie proste przecinające się i opisuje wszystkie cztery kąty, znając tylko jeden. Potem to samo dla dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią — osiem kątów, dwie różne miary. Na koniec pięć zadań rachunkowych i jedno odwrotne, czyli ocena, czy proste są równoległe.

Sesja druga to trójkąty. Pięć zadań na trzeci kąt, trzy na trójkąt równoramienny w obu wariantach i dwa na trójkąt prostokątny. Warto przy każdym zapisywać działanie, a nie tylko wynik, bo w kluczu punkty idą właśnie za kroki. Potem trzy zadania na nierówność trójkąta, w tym jedno z przypadkiem granicznym.

Sesja trzecia to czworokąty. Najpierw wypisuje się z pamięci tabelę przekątnych dla równoległoboku, prostokąta, rombu i kwadratu, a dopiero potem sprawdza się ją w zeszycie. Następnie pięć zadań na kąt brakujący i trzy zdania do oceny prawda czy fałsz z zależnościami w rodzinie czworokątów.

Sesja czwarta to wielokąty foremne i powtórka mieszana. Trzy zadania na miarę kąta wielokąta foremnego, dwa na liczbę przekątnych, a potem jedna pełna wersja arkusza na czas. Sprawdzanie zostawia się na następny dzień, bo wtedy łatwiej zauważyć własny błąd — po przerwie rysunek czyta się od nowa, a nie tak, jak się go pamięta.

Warto też w każdej sesji zapisywać wyniki na jednej liście, żeby zobaczyć, który typ zadania wraca w pomyłkach. Jeśli dwa razy z rzędu wypada ten sam temat, to on wymaga dodatkowych pięciu zadań, a nie całego działu od początku. Taka lista z dwóch sesji wskazuje luki dokładniej niż ogólne poczucie, że „geometria nie wychodzi”.

Co sprawdza nasz arkusz z figur na płaszczyźnie

Arkusz do tego działu jest tak ułożony, żeby zacząć od rysunków prostych, a skończyć na zadaniach z dwoma krokami. Otwierają go kąty przyległe i wierzchołkowe przy dwóch przecinających się prostych, potem jest rysunek z prostymi równoległymi i prostą przecinającą, w którym trzeba podać miary kilku kątów, mając jedną daną.

Środkową część zajmują trójkąty: trzeci kąt, trójkąt równoramienny w obu wariantach, trójkąt prostokątny oraz dwa zadania na nierówność trójkąta, w tym jedno z przypadkiem granicznym. Dalej idą czworokąty — kąt brakujący, kąty w równoległoboku i trapezie oraz zestaw zdań do oceny na zależności między kwadratem, rombem i prostokątem. Na końcu są wielokąty foremne i jedno zadanie łączone, w którym miarę kąta trzeba policzyć w dwóch krokach, korzystając najpierw z własności prostych równoległych, a potem z sumy kątów w trójkącie.

Do każdego działu dostajesz dwie równoważne wersje arkusza, grupę A i grupę B, z tymi samymi typami zadań i tą samą punktacją, ale z innymi miarami kątów — jedną warto zrobić na początku powtórki, drugą dzień przed sprawdzianem. W paczce są też krótkie kartkówki na pojedyncze tematy, osobno na kąty przy prostych równoległych i osobno na czworokąty. Każdy arkusz ma klucz odpowiedzi z punktacją rozpisaną na kroki, więc widać, czy punkt przepadł na odczytaniu rysunku, czy na rachunku. Pliki są w formacie PDF, gotowe do druku, bez znaków wodnych i bez reklam.

Zadanie łączone z końca arkusza warto robić z ołówkiem w ręku i dopisywać miary kolejnych kątów wprost na rysunku, zamiast trzymać je w pamięci. Klucz rozbija punkty na te pośrednie wyniki, więc nawet gdy ostatni krok wyjdzie błędnie, wcześniejsze pozostają punktowane.

Najczęstsze błędy w zadaniach o kątach

Pierwszy błąd to korzystanie z zależności dla prostych równoległych, gdy nigdzie nie napisano, że proste są równoległe. Bez tego założenia kąty odpowiadające nie muszą być równe i całe zadanie rozpada się już w pierwszym kroku.

Drugi to mieszanie kątów przyległych z wierzchołkowymi. Przyległe sumują się do stu osiemdziesięciu, więc przy danym 125 drugi wynosi 180 - 125 = 55. Wierzchołkowe są równe, więc przy danym 125 drugi ma również 125. Pomylenie tych dwóch przypadków daje wynik odległy od prawdy, choć rachunek bywa poprawny.

Trzeci błąd to dodanie dwóch danych kątów i podanie tej sumy jako odpowiedzi. Przy kątach 50 i 60 liczba 110 jest tylko krokiem pośrednim, a trzeci kąt to 180 - 110 = 70. Czwarty jest podobny: w trójkącie równoramiennym uczeń odejmuje kąt między ramionami od stu osiemdziesięciu i zapisuje 140 jako kąt przy podstawie, zapominając o podzieleniu na dwa, czyli o kroku 140 : 2 = 70.

Piąty błąd dotyczy nierówności trójkąta i przypadku granicznego. Dla boków 5, 5 i 10 suma krótszych wynosi 5 + 5 = 10, czyli dokładnie tyle, ile bok najdłuższy, więc trójkąta nie ma. Odpowiedź „tak, bo suma jest równa” jest błędna, bo warunek wymaga sumy większej.

Szósty to zdania o rodzinie czworokątów odczytane w złą stronę. Każdy kwadrat jest rombem, ale zdanie „każdy romb jest kwadratem” jest fałszem. Siódmy, najcichszy, to odczytywanie miary kąta z rysunku na oko. Rysunki w arkuszach nie są rysowane w skali kątowej, więc kąt wyglądający na prosty wcale nie musi mieć dziewięćdziesięciu stopni — liczy się tylko to, co zapisano w treści albo zaznaczono znaczkiem na rysunku.

Ósmy błąd to pomijanie jednostki w odpowiedzi. Sam zapis 70 bez słowa „stopni” bywa uznawany za odpowiedź niepełną, zwłaszcza gdy w tym samym zadaniu występują też długości boków. Dziewiąty, równie prosty do uniknięcia, to niesprawdzenie sumy na koniec: po obliczeniu wszystkich kątów trójkąta warto je dodać i zobaczyć, czy wychodzi 180.