Liczby i działania — sprawdzian z matematyki, klasa 4

Cztery działania i ich nazwy — po co uczyć się tych słów

Dział zaczyna się od słownictwa i to nie jest formalność. Polecenia w arkuszu brzmią „oblicz różnicę”, „podaj drugi czynnik”, „zapisz dzielną”, a dziecko, które zna rachunki, ale nie zna nazw, nie wie, co ma policzyć. Nazwy są cztery razy po trzy i uczy się ich raz na całą szkołę.

Pierwszy wiersz czyta się tak: w sumie 24 + 36 = 60 liczby dwadzieścia cztery i trzydzieści sześć są składnikami, a sześćdziesiąt jest sumą. W różnicy 80 − 25 = 55 osiemdziesiąt to odjemna, dwadzieścia pięć to odjemnik, a pięćdziesiąt pięć to różnica. Słowa „odjemna” i „odjemnik” mylą się najczęściej i warto je rozdzielić jednym skojarzeniem: odjemna jest ta, od której odejmujemy, więc stoi pierwsza.

Nazwy przydają się też do zadań, w których szuka się brakującej liczby. Polecenie „pierwszy składnik wynosi 18, suma wynosi 50, podaj drugi składnik” rozwiązuje się odejmowaniem: 50 − 18 = 32. Polecenie „iloczyn wynosi 56, jeden czynnik to 7, podaj drugi” rozwiązuje się dzieleniem: 56 : 7 = 8. Bez nazw to zadanie jest nieczytelne, z nazwami rozwiązuje się w jednym kroku.

Osobno warto zapamiętać dwie pary słów z zadań tekstowych: suma i różnica opisują dodawanie i odejmowanie, a iloczyn i iloraz mnożenie oraz dzielenie. Zadanie, które prosi o „iloraz liczb 72 i 9”, pyta o dzielenie, mimo że ani razu nie użyło słowa „podziel”.

Jedna uwaga praktyczna. Nazwy warto przerobić bez liczenia, na gotowych działaniach: dziecko tylko wskazuje palcem, która liczba jest odjemną, a która odjemnikiem. Rachunek dołożony do tego ćwiczenia odbiera mu sens, bo trudność nie leży w liczeniu, a w słowach.

Rachunki pamięciowe: rozkładanie liczb i dopełnianie do okrągłej

Rachunki pamięciowe to serce tego działu. Nie chodzi o szybkość, a o to, żeby dziecko miało sposób na liczbę, której nie zna z tabliczki mnożenia. Sposób jest jeden i powtarza się we wszystkich czterech działaniach: rozbij trudną liczbę na łatwe części, policz części osobno, złóż wynik.

Pierwszy wiersz to dopełnianie do okrągłej liczby. Z trzydziestu ośmiu pożyczamy trójkę, bo 38 − 3 = 35, i dzięki temu zamiast dodawać dwie trudne liczby, dodajemy do pełnej pięćdziesiątki: 50 + 35 = 85. Sprawdzenie jest natychmiastowe, bo 47 + 38 = 85.

Drugi wiersz pokazuje tę samą sztuczkę w odejmowaniu, tylko z poprawką na koniec. Odjęcie trzydziestu jest łatwe i daje 83 − 30 = 53, ale odjęliśmy o jeden za dużo, więc jedynkę trzeba oddać: 53 + 1 = 54.

Trzeci i czwarty wiersz to rozkład na dziesiątki i jedności. W mnożeniu liczymy 6 × 10 = 60 i 6 × 4 = 24, a potem 60 + 24 = 84. W dzieleniu rozbijamy dzielną na dwie części podzielne przez cztery: 80 : 4 = 20 oraz 16 : 4 = 4, więc razem 20 + 4 = 24.

Te cztery sposoby wystarczają na cały arkusz. Warto je ćwiczyć na głos, bo zapisywanie rozbicia zajmuje więcej czasu niż sam rachunek, a w zadaniu liczy się wynik.

Rachunki pamięciowe mają też własny limit i dobrze go znać. Przy liczbach trzycyfrowych rozbicie przestaje być wygodniejsze od zapisu pisemnego i wtedy nie ma po co się upierać. Arkusz ustawia w tej części liczby tak, żeby rozbicie wygrywało: dwucyfrowe składniki, okrągła dziesiątka w pobliżu, dzielna łatwa do podzielenia na dwie części.

Prawa, które skracają rachunek: przemienność, łączność i rozdzielność

Trzy własności działań nie są w klasie czwartej materiałem do definiowania, ale do używania. Pojawiają się w zadaniu „oblicz najwygodniejszym sposobem”, które bez nich jest zwykłym, długim rachunkiem.

Przemienność znaczy, że kolejność składników i czynników nie zmienia wyniku. Dzięki temu iloczyn trzech liczb wolno przestawić: w 7 × 25 × 4 najpierw liczymy 4 × 25 = 100, a potem 100 × 7 = 700. Liczone po kolei to samo działanie wymagałoby mnożenia stu siedemdziesięciu pięciu przez cztery.

Łączność pozwala dowolnie grupować. W sumie 48 + 27 + 52 opłaca się najpierw zrobić 48 + 52 = 100, a dopiero potem 100 + 27 = 127. Para liczb dopełniających się do okrągłej setki jest tu ukryta celowo i właśnie jej szukanie jest treścią zadania.

Rozdzielność mnożenia łączy oba poprzednie prawa z rozkładaniem liczb: 4 × 23 = 4 × 20 + 4 × 3 = 92. Ten zapis wygląda formalnie, ale to dokładnie ten sam ruch, którym liczy się w pamięci — rozbicie na dziesiątki i jedności.

Jedno ostrzeżenie jest konieczne, bo arkusz je sprawdza. Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne. W odejmowaniu 8 − 3 = 5, a przestawienie liczb daje działanie, którego w klasie czwartej jeszcze nie wykonujemy. W dzieleniu 12 : 4 = 3, a po przestawieniu liczb wynik byłby ułamkiem. Dlatego wolno przestawiać wyłącznie składniki w dodawaniu i czynniki w mnożeniu.

Dobre ćwiczenie na te trzy prawa nie polega na nazywaniu ich. Wystarczy dawać dziecku pary rachunków — jeden policzony po kolei i ten sam przestawiony — i pytać, który był szybszy. Po kilku parach samo zacznie szukać okrągłych liczb.

Warto wiedzieć, po czym rozpoznać zadanie z tej grupy. Polecenie brzmi zwykle „oblicz najwygodniejszym sposobem”, a liczby są w nim dobrane tak, że dwie z nich dopełniają się do okrągłej dziesiątki albo setki. Kto tego nie zauważy, policzy wszystko po kolei i też dostanie punkt — ale zużyje na jedno zadanie czas potrzebny na trzy.

Zero i jedynka w działaniach, i dlaczego nie dzielimy przez zero

Zero i jedynka zachowują się w działaniach inaczej niż pozostałe liczby i arkusz zawsze o to pyta. Reguł jest pięć i wszystkie da się sprawdzić na jednej liczbie.

Najtrudniejsze pytanie dotyczy dzielenia przez zero i warto na nie odpowiedzieć sposobem, a nie zakazem. Dzielenie sprawdza się mnożeniem: wynik razy dzielnik ma dać dzielną. Gdybyśmy chcieli podzielić dwadzieścia pięć przez zero, musielibyśmy znaleźć liczbę, która pomnożona przez zero da dwadzieścia pięć. Takiej liczby nie ma, bo każda liczba pomnożona przez zero daje zero. Dlatego dzielenia przez zero nie wykonujemy — nie dlatego, że jest zabronione, a dlatego, że nie ma wyniku.

Osobny przypadek to zero w roli dzielnej, czyli dzielenie zera przez liczbę. Tutaj wynik istnieje i jest nim zero, bo 0 × 25 = 0 wraca do dzielnej. Te dwie sytuacje wyglądają podobnie, a znaczą coś zupełnie innego i właśnie na tym opiera się typowe zadanie z gwiazdką.

Przy odejmowaniu zero zachowuje się spokojnie: 25 − 0 = 25, a odjęcie liczby od siebie samej daje zero, bo 25 − 25 = 0. Warto obie równości przeliczyć razem, bo w arkuszu stoją obok siebie w jednym zadaniu i uczeń, który zna tylko pierwszą, odpowiada na drugą tą samą liczbą.

Zero i jedynka wracają w arkuszu jeszcze w jednej postaci: jako brakujące liczby w działaniu. Zadanie typu „jaką liczbę wpisać, żeby iloczyn wyniósł zero” ma odpowiedź natychmiastową, bo wystarczy, że jednym czynnikiem będzie zero. Pytanie odwrotne, o liczbę, która w iloczynie nic nie zmienia, prowadzi do jedynki. Obie odpowiedzi warto mieć przemyślane przed sprawdzianem, bo pod presją czasu wyglądają na podchwytliwe.

Kolejność działań i nawiasy

Kolejność działań jest w tym dziale najczęstszym źródłem straconych punktów, bo wszystkie rachunki są łatwe, a wynik i tak wychodzi inny. Reguła ma trzy poziomy: najpierw nawiasy, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania z tego samego poziomu wykonuje się od lewej do prawej.

W zapisie 12 + 4 × 5 pierwsze idzie mnożenie: 4 × 5 = 20, a potem 12 + 20 = 32. Ten sam zapis w nawiasie zmienia wszystko — najpierw 12 + 4 = 16, a następnie 16 × 5 = 80. Dwa wyniki, te same trzy liczby, różnica tylko w dwóch znakach. Warto policzyć kilka takich par obok siebie, bo nic nie tłumaczy roli nawiasu lepiej niż dwie różne odpowiedzi.

Druga część reguły, czyli kierunek od lewej do prawej, bywa pomijana, a kosztuje równie dużo. W zapisie 36 : 6 : 3 poprawna droga to 36 : 6 = 6, a potem 6 : 3 = 2. Gdyby ktoś zaczął od prawej, policzyłby 6 : 3 = 2, a potem 36 : 2 = 18 — wynik dziewięć razy większy. Tak samo w odejmowaniu z dodawaniem: 20 − 8 + 5 = 17, bo liczymy po kolei, a nie od tyłu.

Dobry nawyk jest jeden: przed liczeniem podkreśl działanie, które ma być pierwsze. Trzy sekundy pracy ołówkiem zastępują całą regułę, bo dziecko nie musi jej pamiętać w trakcie rachunku.

Jeszcze jedna rzecz bywa punktowana osobno: nawias wolno dopisać samemu. Jeżeli zadanie prosi o zapisanie działania do treści, nawias jest często konieczny, żeby zapis zgadzał się z sensem zdania. Suma dwóch liczb pomnożona przez trzy wymaga nawiasu, bo bez niego pomnożona zostanie tylko druga liczba. Tę różnicę warto przeliczyć na konkretnych liczbach, raz z nawiasem i raz bez niego.

Kwadrat i sześcian liczby

Kwadrat i sześcian liczby to w klasie czwartej jeszcze nie potęgowanie, a skrót na dwa i trzy jednakowe czynniki. Kwadrat liczby to ta liczba pomnożona przez siebie, a sześcian to ta liczba pomnożona przez siebie trzy razy. Cała trudność polega na tym, żeby nie pomylić tego z mnożeniem przez dwa i przez trzy.

Pierwszy wiersz w całości to 2 × 2 = 4 i 2 × 2 × 2 = 8. Drugi daje 3 × 3 = 9 oraz 3 × 3 × 3 = 27. Czwarty wiersz warto przeliczyć na głos, bo właśnie przy liczbach średniej wielkości pomyłki wracają najczęściej: 5 × 5 = 25, a dalej 5 × 5 × 5 = 125.

Pułapka jest zawsze ta sama. Kwadrat czwórki to 4 × 4 = 16, a nie osiem, bo osiem wyszłoby z pomnożenia przez dwa. Tę pomyłkę najłatwiej wyłapać obrazem: kwadrat liczby to liczba kratek w kwadracie o takim boku. Kwadrat o boku trzy kratki ma ich dziewięć i nikt, kto raz to narysował, nie poda sześciu.

Nazwy wzięły się z figur i to samo w sobie jest dobrą podpowiedzią. Kwadrat liczby odpowiada polu kwadratu o takim boku, a sześcian liczby bryle o jednakowych krawędziach. Dziesiątka w ostatnim wierszu tabeli jest najwygodniejsza, bo 10 × 10 = 100 i 10 × 10 × 10 = 1000 od razu pokazują, jak rosną kolejne rzędy.

W arkuszu kwadraty i sześciany pojawiają się zwykle jako tabela do uzupełnienia i to dobra wiadomość: wystarczy znać kwadraty liczb od dwójki do dziesiątki oraz sześciany do piątki. Więcej w klasie czwartej nikt nie wymaga. Opłaca się za to znać je bez liczenia, bo w wyrażeniach z kolejnością działań kwadrat trzeba policzyć przed mnożeniem i każda sekunda na jego odtworzenie opóźnia cały rachunek.

Oś liczbowa, porównywanie i szacowanie wyniku

Oś liczbowa jest w tym dziale narzędziem, nie tematem. Służy do trzech rzeczy: pokazuje, która liczba jest większa, pozwala zaznaczyć liczbę między dwiema innymi i daje obraz zaokrąglania. Najważniejszy jest pierwszy krok — ustalenie, ile wynosi jedna jednostka na osi. Jeśli między zerem a setką jest dziesięć odcinków, to jeden odcinek odpowiada dziesięciu, a nie jedności.

Porównywanie liczb wielocyfrowych robi się cyfra po cyfrze od lewej, nie na oko. Liczby 3450 i 3405 mają tyle samo cyfr i zaczynają się tak samo, więc decyduje pierwsze miejsce, na którym się różnią: w jednej stoi tam piątka, w drugiej zero. Dziecko, które porównuje „po długości”, przy równej liczbie cyfr zgaduje.

Szacowanie jest trzecim zastosowaniem i to ono daje punkty w zadaniach tekstowych. Przed rachunkiem 198 + 203 wystarczy pomyśleć o dwóch setkach, bo 200 + 200 = 400, więc wynik musi wypaść blisko czterystu. Dokładny rachunek daje 198 + 203 = 401 i nie ma już wątpliwości, czy jest poprawny.

Zaokrąglanie liczb naturalnych działa tak samo jak szacowanie, tylko z regułą zamiast intuicji. Patrzysz na pierwszą cyfrę, którą odrzucasz: od piątki w górę zaokrąglasz w górę, poniżej zostawiasz bez zmian. Liczba 347 zaokrąglona do dziesiątek daje 350, a do setek 300.

Ostatni wiersz to typowe zadanie z gwiazdką: zaokrąglenie dziewięćdziesięciu pięciu do dziesiątek przenosi się przez cały rząd i daje setkę.

Oś liczbowa wraca potem przy ułamkach i przy liczbach ujemnych, więc czas poświęcony teraz na jedno pytanie — ile wynosi jeden odcinek — zwraca się jeszcze kilka razy. W arkuszu to pytanie jest zwykle ukryte: na osi opisane są tylko dwie liczby, a pozostałe trzeba wyliczyć z odstępów między kreskami.

Porównywanie różnicowe i ilorazowe w zadaniach tekstowych

Dwa sformułowania z zadań tekstowych odpowiadają za większość błędnych działań w tym dziale: „o ile więcej” i „ile razy więcej”. Pierwsze pyta o różnicę, więc odejmujemy. Drugie pyta o iloraz, więc dzielimy. Brzmią podobnie, a prowadzą do różnych rachunków i różnych odpowiedzi.

Pierwsze dwa wiersze dotyczą tej samej pary liczb i dobrze to pokazać razem. Jeśli Ala ma dwanaście naklejek, a Bartek cztery, to Ala ma o osiem naklejek więcej, bo 12 − 4 = 8, i jednocześnie trzy razy więcej, bo 12 : 4 = 3. Oba zdania są prawdziwe i oba są odpowiedzią — na dwa różne pytania.

Dwa dolne wiersze to konstrukcje odwrotne, w których liczba w pytaniu jest wynikiem, a nie daną. „O pięć więcej niż dwadzieścia trzy” to 23 + 5 = 28, a „pięć razy mniej niż czterdzieści pięć” to 45 : 5 = 9. Słowo „mniej” razem ze słowem „razy” zawsze oznacza dzielenie, choć pierwsze skojarzenie prowadzi do odejmowania.

Najtańszy sposób ćwiczenia tej grupy zadań nie polega na liczeniu. Daj dziecku cztery krótkie treści i poproś tylko o zapisanie działania, bez wyniku. Wybór działania jest tu całą trudnością, a oddzielenie go od rachunku pokazuje od razu, czy polecenie zostało zrozumiane.

Trzecia konstrukcja z tej grupy jest dwudziałaniowa i w arkuszu warta najwięcej punktów: z dwóch danych liczb trzeba policzyć trzecią, a dopiero potem odpowiedzieć na pytanie. Tutaj pomaga szacowanie, bo pozwala sprawdzić, czy wynik pośredni ma sens, zanim wejdzie w dalszy rachunek.

Plan powtórki: dwie sesje na rachunki i jedna na kolejność działań

Ten dział składa się z rzeczy łatwych, których jest dużo, więc powtórka musi je rozdzielić, a nie przerobić naraz. Trzy sesje po dwadzieścia kilka minut i jedno pełne podejście do arkusza wystarczą, jeśli każda sesja ma jeden temat.

Pierwsza sesja jest najkrótsza i wyjątkowo nie wymaga liczenia. Chodzi tylko o to, żeby dziecko umiało wskazać odjemną, dzielnik i czynnik, bo bez tego nie zrozumie połowy poleceń w arkuszu.

Druga sesja powinna się odbyć na głos, bez zapisywania. Rachunki pamięciowe wyrabia się mówieniem, a nie pisaniem — zapisane rozbicie zajmuje więcej czasu niż sam wynik i mija się z celem.

Trzecia sesja jest najważniejsza punktowo. Kolejność działań to jedyne miejsce w dziale, gdzie poprawny rachunek daje złą odpowiedź, więc warto jej poświęcić najwięcej uwagi. Jeśli zostało jedno popołudnie, weź właśnie tę sesję i dołóż do niej zadania o „ile razy więcej”.

Pełny arkusz warto napisać dopiero po trzeciej sesji, w jednym podejściu i na czas. Rozwiązywany po kawałku nie pokaże tego, co w tym dziale najważniejsze: czy dziecko utrzymuje kolejność działań, kiedy zadania zaczynają się mieszać. Po arkuszu przejdźcie klucz zadanie po zadaniu i zapiszcie, które pomyłki wróciły — zwykle są to dwie albo trzy te same.

Jak wygląda nasz arkusz do tego działu

Arkusz otwiera zadanie na nazwy: tabela z czterema działaniami, w której trzeba podpisać składniki i wyniki. Potem idzie seria rachunków pamięciowych, po dwa na każde działanie, ułożonych tak, żeby dało się je policzyć rozbiciem, a nie słupkiem. Trzecia część to pięć wyrażeń z kolejnością działań, w tym jedno z dwoma nawiasami i jedno z samym dzieleniem, które trzeba policzyć od lewej. Dalej są dwa zadania o brakującą liczbę, zapisane nazwami, oraz krótka tabela kwadratów i sześcianów do uzupełnienia. Zamykają arkusz trzy zadania tekstowe: jedno na porównywanie różnicowe, jedno na ilorazowe i jedno dwudziałaniowe z szacowaniem wyniku.

Na dział składają się dwa arkusze o jednakowej budowie i jednakowej punktacji, różniące się wyłącznie liczbami w zadaniach, dzięki czemu drugi można zachować na dzień przed sprawdzianem. Rozwiązania trzymamy w oddzielnym podfolderze z punktacją rozpisaną na etapy rozwiązania. Pliki są gotowymi do druku PDF-ami w formacie A4. Zadania są autorskie i ułożone według podstawy programowej MEN, a nie według jednej serii podręczników.

Kartkówka jest krótsza i obejmuje rachunki pamięciowe wraz z kolejnością działań, bez zadań tekstowych.

Najczęstsze błędy i pułapki

Lista powstała z zadań, w których rachunek jest wykonany poprawnie, a punktu nie ma. Wszystkie te pomyłki wychodzą w jednym pełnym podejściu do arkusza w domu.

Dwie pułapki zasługują na osobne zdanie, bo nie wynikają z pośpiechu. Pierwsza to nazwy. Dziecko, które nie rozróżnia dzielnej i dzielnika, w zadaniu o brakującą liczbę wybiera działanie losowo, a przy kilku takich zadaniach w arkuszu traci punkty bez żadnego powodu. Druga to zgadywanie kolejności. Jeśli wyniki w wyrażeniach wychodzą raz dobrze, raz źle, problem prawie nigdy nie leży w rachunku, tylko w tym, że reguła jest odtwarzana z pamięci przy każdym zadaniu od nowa. Lekarstwem jest ołówek i jedno podkreślenie, nie kolejne powtarzanie reguły.

Jeśli pomyłki wracają mimo powtórek, zmień kolejność pracy: najpierw dziecko zapisuje działanie do każdego zadania, a liczy dopiero potem, wszystkie po kolei. Rozdzielenie wyboru działania od rachunku od razu pokazuje, który z tych dwóch kroków zawodzi.