Prostopadłościany i sześciany — sprawdzian z matematyki, klasa 4

Prostopadłościan czy sześcian — pierwsze rozpoznanie

Prostopadłościan to bryła, której wszystkie sześć ścian są prostokątami. Sześcian to ten sam rodzaj bryły, tylko wszystkie jego ściany są kwadratami, a więc wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Z tego wynika rzecz, którą trzeba zapamiętać na całe cztery lata nauki: każdy sześcian jest prostopadłościanem, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem. Pytanie w arkuszu brzmi często „czy ta bryła jest sześcianem” i wystarczy wtedy sprawdzić jedną rzecz — czy trzy wymiary podane na rysunku są równe.

Przykłady z domu pomagają szybciej niż definicja. Pudełko po bucie, cegła, książka w twardej oprawie, piórnik na suwak — wszystkie są prostopadłościanami. Kostka do gry i kostka cukru to sześciany. Zdarza się też trzeci przypadek, o który pytają zadania z podchwytliwym rysunkiem: prostopadłościan, w którym dwie ściany są kwadratami, a cztery pozostałe prostokątami. Taką bryłę ma na przykład słupek o wymiarach 3, 3 i 7. Nie jest to sześcian, bo trzeci wymiar jest inny, ale dwie ściany naprawdę są kwadratowe.

W zadaniach pojawia się też pojęcie podstawy i ścian bocznych. Podstawa to ściana, na której bryła stoi, a ściany boczne to te, które do niej przylegają. Dla prostopadłościanu o wymiarach 5, 3 i 2 można za podstawę wybrać ścianę 5 na 3, i wtedy wysokość wynosi 2. Można jednak postawić tę samą bryłę inaczej i wtedy podstawą będzie ściana 5 na 2, a wysokość wyniesie 3. Wymiary bryły się nie zmieniają, zmienia się tylko to, który z nich nazywamy wysokością — i dlatego w zadaniu zawsze trzeba przeczytać, jak bryła stoi.

W arkuszu pojawia się też polecenie, żeby z podanej listy przedmiotów wybrać te, które mają kształt prostopadłościanu. Wtedy odpada wszystko, co ma ścianę zaokrągloną albo trójkątną: puszka, piłka, namiot. Zostają przedmioty o sześciu prostokątnych ścianach, a wśród nich osobno zaznacza się te, które są sześcianami.

Sześć ścian, dwanaście krawędzi, osiem wierzchołków

Te trzy liczby trzeba znać na pamięć, bo wracają w połowie zadań tego działu. Prostopadłościan ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków. Sześcian ma dokładnie tyle samo, bo jest prostopadłościanem — różni się tylko tym, że wszystkie jego krawędzie są równe. Uczniowie mylą się najczęściej przy krawędziach, bo na typowym rysunku widać ich dziewięć, a trzy są schowane z tyłu.

Krawędzie prostopadłościanu dzielą się na trzy grupy po cztery. W bryle o wymiarach 5, 3 i 2 są cztery krawędzie długości 5, cztery długości 3 i cztery długości 2, co razem daje 4 + 4 + 4 = 12. Podobnie ściany dzielą się na trzy pary: dwie ściany 5 na 3, dwie ściany 5 na 2 i dwie ściany 3 na 2, czyli 2 + 2 + 2 = 6. Ściany w jednej parze są zawsze jednakowe, bo leżą po przeciwnych stronach bryły.

W wierzchołku prostopadłościanu spotykają się zawsze trzy krawędzie, nigdy dwie i nigdy cztery. To spostrzeżenie przydaje się przy liczeniu krawędzi na rysunku: skoro wierzchołków jest 8, a z każdego wychodzą 3 krawędzie, to iloczyn 8 × 3 = 24 liczy każdą krawędź dwa razy, więc prawdziwa liczba krawędzi to 24 : 2 = 12. Taki rachunek nie jest wymagany w arkuszu, ale pozwala sprawdzić, czy nic nie zostało pominięte na rysunku.

Przy tych liczbach warto też zapamiętać prostą zależność: wierzchołków jest zawsze o dwa więcej niż ścian, a krawędzi dokładnie tyle, ile ścian i wierzchołków razem bez dwóch. Dla naszej bryły wychodzi 6 + 8 = 14, a dalej 14 - 2 = 12. Taka kontrola nie jest wymagana w zadaniu, ale szybko wyłapuje pomyłkę w którejkolwiek z trzech liczb.

Krawędzie i ściany prostopadłe oraz równoległe

Druga grupa zadań nie wymaga żadnych rachunków, tylko czytania rysunku. Pytanie brzmi: które krawędzie są równoległe do wskazanej, a które do niej prostopadłe. Odpowiedź wynika z tego, jak zbudowana jest bryła. Do każdej krawędzi prostopadłościanu są równoległe dokładnie trzy inne krawędzie — te z tej samej grupy czterech. Prostopadłych jest więcej, bo każda krawędź spotyka się pod kątem prostym z ośmioma pozostałymi, czyli 3 + 8 = 11 krawędzi to wszystkie poza nią samą.

Tę samą rachubę warto zrobić dla ścian. Do wskazanej ściany prostopadłościanu równoległa jest tylko jedna ściana — ta po przeciwnej stronie bryły. Prostopadłe są cztery pozostałe, bo 1 + 4 = 5 ścian to wszystkie poza wybraną. Dlatego odpowiedź „dwie ściany równoległe” jest w takim zadaniu błędna: druga ściana z pary to właśnie ta wskazana w treści, a pytanie dotyczy pozostałych.

Przy tych zadaniach bardzo pomaga prawdziwe pudełko. Wystarczy wziąć opakowanie po herbacie, zaznaczyć jedną krawędź paskiem papieru i poszukać palcem tych, które z nią nie mają wspólnego punktu i biegną w tę samą stronę. Po dwóch takich próbach rysunek na kartce przestaje być zagadką, bo oko już wie, czego szukać. Warto też pamiętać o słowie „skośne”, które w klasie czwartej jeszcze nie jest potrzebne — na tym poziomie zadania pytają wyłącznie o równoległość i prostopadłość.

Pytania z tej grupy bywają zapisane jako tabelka do uzupełnienia, w której trzeba wpisać nazwy krawędzi literami wierzchołków. Wtedy pomaga opisanie rysunku: przednia ściana dostaje litery od A do D, a tylna od E do H, przy czym E leży za A. Krawędź równoległa do AB to wtedy EF, a także DC i HG.

Jak narysować bryłę na kartce w kratkę

Rysunek prostopadłościanu to w gruncie rzeczy dwa jednakowe prostokąty i cztery odcinki, które je łączą. Zaczyna się od przedniej ściany narysowanej po liniach kratki. Potem przesuwa się ten sam prostokąt o kilka kratek w skos — zwykle dwie w prawo i dwie w górę — i rysuje się go jeszcze raz. Na koniec łączy się odpowiadające sobie wierzchołki, czyli lewy górny z lewym górnym, prawy dolny z prawym dolnym i tak dalej.

Najważniejsza zasada dotyczy linii przerywanej. Krawędzie, których w rzeczywistości nie widać, bo są zasłonięte przez bryłę, rysuje się linią przerywaną. Takich krawędzi jest zawsze trzy i wszystkie wychodzą z jednego wierzchołka — tego schowanego z tyłu. Pozostałe dziewięć rysuje się linią ciągłą, bo 9 + 3 = 12 i liczba krawędzi musi się zgodzić. Jeśli na rysunku przerywanych linii jest więcej albo mniej niż trzy, coś poszło nie tak.

Druga zasada dotyczy długości odcinków na rysunku. Krawędzie biegnące w skos wyglądają na krótsze, niż są w rzeczywistości, i to jest w porządku — tak działa rysunek bryły na płaskiej kartce. Dlatego nie wolno odczytywać wymiarów z linijki przyłożonej do rysunku. Wymiary bierze się wyłącznie z opisu albo z liczb podpisanych przy krawędziach. Jeśli zadanie podaje, że krawędzie mają 6, 4 i 3, to te liczby wchodzą do rachunku niezależnie od tego, ile kratek zajmuje odcinek na kartce.

W arkuszu pojawia się też zadanie odwrotne: dany jest rysunek z podpisanymi krawędziami, a trzeba wypisać, ile wynosi każdy z trzech wymiarów. Wtedy wystarczy znaleźć trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka, bo właśnie one wyznaczają wszystkie wymiary bryły.

Jeśli rysunek wychodzi krzywo, pomaga zmiana przesunięcia z dwóch kratek na jedną. Bryła będzie wyglądała na bardziej spłaszczoną, ale wszystkie krawędzie zostaną na liniach siatki i łatwiej policzyć, czy jest ich dwanaście. Na sprawdzianie nikt nie ocenia urody rysunku, tylko liczbę krawędzi, poprawne linie przerywane i podpisane wymiary.

Suma długości wszystkich krawędzi

To pierwszy rachunek tego działu i najczęściej pierwsze zadanie punktowane w arkuszu. Skoro krawędzie dzielą się na trzy grupy po cztery, to sumę liczy się tak: najpierw dodaje się trzy różne wymiary, a potem wynik mnoży przez cztery. Dla bryły o wymiarach 5, 3 i 2 wygląda to następująco. Najpierw 5 + 3 + 2 = 10, a potem 4 × 10 = 40. Tę samą sumę można policzyć dłużej, grupa po grupie: 4 × 5 = 20, dalej 4 × 3 = 12, dalej 4 × 2 = 8, i na koniec 20 + 12 + 8 = 40. Oba sposoby muszą dać ten sam wynik i właśnie to jest najlepszym sprawdzeniem rachunku.

Dla sześcianu rachunek jest krótszy, bo wszystkie dwanaście krawędzi jest jednakowych. Sześcian o krawędzi 4 ma sumę krawędzi 12 × 4 = 48. Sześcian o krawędzi 3 ma sumę 12 × 3 = 36.

Występuje też wersja odwrotna, która zbiera najwięcej punktów w arkuszu. Suma krawędzi sześcianu wynosi 60 — jaka jest długość krawędzi? Dzielenie daje odpowiedź od razu: 60 : 12 = 5. Sprawdzenie zajmuje jedną linijkę, bo 12 × 5 = 60. Przy prostopadłościanie zadanie odwrotne wygląda inaczej: podana jest suma krawędzi i dwa wymiary, a trzeci trzeba wyliczyć. Jeśli suma wynosi 52, to po podzieleniu 52 : 4 = 13 wiadomo, że trzy wymiary dają razem 13, a gdy dwa z nich to 6 i 4, trzeci wynosi 13 - 10 = 3.

Zdarza się również wersja z drutem albo listwą: dana jest długość materiału i trzeba sprawdzić, czy wystarczy na szkielet bryły. Wtedy liczy się sumę krawędzi i porównuje z zapasem. Dla bryły o wymiarach 6, 4 i 3 potrzeba 52, więc z odcinka o długości 60 zostaje 60 - 52 = 8, a z odcinka o długości 50 materiału zabraknie.

Siatka bryły: kiedy złoży się w pudełko

Siatka to bryła rozłożona na płasko, tak jakby ktoś rozciął pudełko wzdłuż krawędzi i położył je na stole. Siatka prostopadłościanu składa się zawsze z sześciu prostokątów, a siatka sześcianu z sześciu jednakowych kwadratów. Pierwsze pytanie w zadaniu brzmi po prostu: czy ten rysunek jest siatką bryły. Odpowiedź wymaga sprawdzenia dwóch rzeczy — czy figur jest sześć i czy dają się połączyć w trzy pary jednakowych.

Dla bryły o wymiarach 5, 3 i 2 siatka musi zawierać dwa prostokąty 5 na 3, dwa prostokąty 5 na 2 i dwa prostokąty 3 na 2. Jeśli na rysunku są trzy prostokąty 5 na 3, siatka się nie złoży, bo w bryle nie ma trzech jednakowych ścian tego rodzaju. To najczęstszy sposób, w jaki arkusz podrzuca błędną siatkę.

Sama liczba figur nie wystarcza i to jest sedno tych zadań. Sześć kwadratów ustawionych w jednym długim rzędzie to wciąż sześć kwadratów, ale po złożeniu dwie z nich nałożą się na siebie, a dwie dziury zostaną otwarte. Dlatego przy sprawdzaniu siatki trzeba w myślach zaginać kolejne ściany, albo — co znacznie szybciej uczy — wyciąć rysunek i spróbować naprawdę. Dla sześcianu istnieje jedenaście różnych siatek i nie trzeba ich znać na pamięć, ale warto mieć w pamięci dwie: krzyż z czterech kwadratów w rzędzie i po jednym z boków, oraz schodki z dwóch rzędów po trzy.

Przy ocenie siatki działa jeszcze jedna szybka kontrola: pole całej siatki musi być równe polu powierzchni bryły. Dla sześcianu o krawędzi 4 pole powierzchni to 96, więc sześć kwadratów w siatce też musi dać 96, bo 6 × 16 = 96. Jeśli ktoś dorysuje siódmy kwadrat, suma przestanie się zgadzać i od razu widać, że rysunek nie jest siatką.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Pole powierzchni to suma pól wszystkich sześciu ścian, czyli dokładnie tyle papieru, ile trzeba na oklejenie pudełka. Ponieważ ściany tworzą trzy pary jednakowych, rachunek dzieli się na dwa etapy. Najpierw liczy się pole jednej ściany z każdej pary, potem dodaje się te trzy wyniki i na koniec mnoży sumę przez dwa.

Dla bryły o wymiarach 5, 3 i 2 wygląda to tak. Pierwsza ściana: 5 × 3 = 15. Druga ściana: 5 × 2 = 10. Trzecia ściana: 3 × 2 = 6. Suma trzech ścian: 15 + 10 + 6 = 31. Pole powierzchni: 2 × 31 = 62. Wynik podaje się w jednostkach kwadratowych, bo liczymy powierzchnię, a nie długość.

Zdarza się zadanie, w którym nie trzeba liczyć wszystkich ścian. Pytanie „ile blachy potrzeba na skrzynię bez wieka” oznacza, że z sześciu ścian odpada jedna. Wtedy od pełnego pola odejmuje się pole brakującej ściany. Dla bryły 5 na 3 na 2 bez górnej ściany daje to 62 - 15 = 47. Podobnie przy akwarium bez przykrywki albo przy pudełku, które ma tylko dno i ściany boczne. Takie zadania warto rozpoznawać po słowach „otwarte”, „bez wieka”, „bez pokrywy” — każde z nich odejmuje jedną ścianę od rachunku.

Pole powierzchni bywa też pytane częściowo. Polecenie „policz pole ścian bocznych” dla bryły stojącej na ścianie 5 na 3 oznacza cztery ściany: dwie po 5 × 2 = 10 i dwie po 3 × 2 = 6, czyli 10 + 10 + 6 + 6 = 32. Dopiero po dodaniu dwóch podstaw wychodzi pełne pole, bo 32 + 15 + 15 = 62.

Pole powierzchni sześcianu i zadania odwrotne

Sześcian upraszcza rachunek, bo wszystkie sześć ścian to jednakowe kwadraty. Wystarczy policzyć pole jednej ściany i pomnożyć przez sześć. Dla sześcianu o krawędzi 4 najpierw 4 × 4 = 16, a potem 6 × 16 = 96. Dla krawędzi 3 wychodzi 3 × 3 = 9, a dalej 6 × 9 = 54. Dla krawędzi 5 mamy 5 × 5 = 25 i 6 × 25 = 150.

W tabeli widać pułapkę, którą arkusze lubią wykorzystywać: przy krawędzi 2 pole powierzchni i suma krawędzi dają tę samą liczbę 24. To zupełnie przypadkowa zbieżność i dwie różne wielkości, więc odpowiedzi nie wolno mieszać — jedna jest w jednostkach kwadratowych, druga w zwykłych.

Zadania odwrotne idą tą samą drogą, tylko w przeciwną stronę. Pole powierzchni sześcianu wynosi 54 — jaka jest jego krawędź? Najpierw dzieli się przez sześć, żeby dostać pole jednej ściany, czyli 54 : 6 = 9. Potem szuka się liczby, która pomnożona przez siebie daje dziewięć, i wychodzi 3, bo 3 × 3 = 9. Przy polu 96 rachunek wygląda tak: 96 : 6 = 16, a liczbą szukaną jest 4, bo 4 × 4 = 16. Warto mieć pod ręką kwadraty liczb do dziesięciu, bo wtedy drugi krok robi się z pamięci i całe zadanie zajmuje pół minuty.

W zadaniach tekstowych o sześcianie często chodzi o malowanie klocka. Jeśli klocek o krawędzi 3 ma być pomalowany z każdej strony, farby potrzeba na 54 jednostki kwadratowe. Gdy stoi na podłodze i dolna ściana zostaje niepomalowana, do rachunku wchodzi pięć ścian, czyli 5 × 9 = 45.

Plan powtórki: trzy spotkania z pudełkiem i kartką

Ten dział powtarza się najszybciej, gdy obok kartki leży prawdziwe pudełko. Podział na trzy spotkania po około czterdzieści minut pokrywa cały zakres i zostawia czas na sprawdzenie błędów.

Spotkanie pierwsze poświęca się budowie bryły i rysunkowi. Trzeba na głos wymienić liczby 6, 12 i 8, pokazać na pudełku trzy grupy krawędzi i trzy pary ścian, a potem narysować prostopadłościan trzy razy: raz leżący, raz stojący i raz jako sześcian. Przy każdym rysunku liczy się linie przerywane i sprawdza, czy są trzy. Na koniec warto wskazać na pudełku krawędzie równoległe i prostopadłe do zaznaczonej.

Spotkanie drugie to siatki i suma krawędzi. Najlepiej rozciąć jedno pudełko wzdłuż krawędzi i rozłożyć je na stole — wtedy widać, że sześć ścian tworzy trzy pary. Potem rysuje się dwie siatki sześcianu z pamięci i jedną siatkę prostopadłościanu z podpisanymi wymiarami. Druga połowa spotkania idzie na sumy krawędzi: pięć rachunków w przód i dwa odwrotne, czyli z podanej sumy do długości krawędzi.

Spotkanie trzecie należy do pola powierzchni. Pięć rachunków zwykłych, dwa z bryłą bez wieka i dwa odwrotne dla sześcianu wystarczą, żeby schemat wszedł w rękę. Dobrze zrobić jeszcze jedno zadanie tekstowe o oklejaniu albo malowaniu, bo właśnie w nich najłatwiej zgubić informację, że jedna ściana nie wchodzi do rachunku. Jeśli po trzecim spotkaniu zostaje czas, warto wrócić do rysunku z pierwszego dnia i policzyć dla tej samej bryły obie wielkości — sumę krawędzi i pole powierzchni — żeby zobaczyć na własnych liczbach, że to dwa różne wyniki.

Dobrze jest też zapisywać wyniki w jednym miejscu, na przykład na odwrocie kartki, i wracać do nich przy następnym spotkaniu. Jeśli ten sam typ zadania wypada drugi raz z rzędu, to znak, że trzeba go zrobić jeszcze cztery albo pięć razy, a nie przechodzić dalej. Taka lista z dwóch dni powtórki pokazuje dokładnie, gdzie siedzi luka.

Co sprawdza nasz arkusz z bryłami

Arkusz do tego działu jest tak zbudowany, żeby przejść przez wszystkie typy zadań, które pojawiają się na szkolnym sprawdzianie. Zaczyna się od rozpoznawania bryły i wypisywania liczby ścian, krawędzi i wierzchołków, bo to zadania na rozgrzewkę i prawie każdy zbiera za nie pełne punkty. Dalej są pytania o krawędzie równoległe i prostopadłe, odczytywanie wymiarów z rysunku oraz ocena, czy podana siatka złoży się w bryłę.

Środek arkusza to rachunki: suma długości krawędzi w wersji zwykłej i odwrotnej, pole powierzchni prostopadłościanu oraz pole powierzchni sześcianu. Na końcu czekają dwa zadania tekstowe — jedno o oklejaniu lub malowaniu, gdzie trzeba samemu zdecydować, ile ścian wchodzi do rachunku, i jedno łączone, w którym dla tej samej bryły liczy się i sumę krawędzi, i powierzchnię.

Do każdego działu dostajesz dwie równoważne wersje arkusza, grupę A i grupę B, z tymi samymi typami zadań i tą samą liczbą punktów, ale z innymi liczbami. Oprócz tego w paczce są krótkie kartkówki na pojedyncze tematy — osobno siatki, osobno pole powierzchni — przydatne wtedy, gdy wiadomo już, który fragment kuleje. Każdy arkusz ma klucz odpowiedzi z rozpisaną punktacją za poszczególne kroki, więc po sprawdzeniu widać, czy punkt przepadł na rachunku, czy na odczytaniu rysunku. Pliki są w formacie PDF, gotowe do druku, bez znaków wodnych i bez reklam.

Przed samym sprawdzianem najlepiej zrobić jedną wersję w całości na czas, bez zaglądania w notatki, i dopiero potem sięgnąć po klucz. Wtedy widać nie tylko, które zadania wyszły, ale także ile czasu zabierają rachunki na pole powierzchni — a to one najczęściej decydują o tym, czy ostatnie zadanie w arkuszu zostanie rozwiązane.

Pułapki, w które wpada się najczęściej

Pierwsza pomyłka to mieszanie sumy krawędzi z polem powierzchni. Dla bryły o wymiarach 5, 3 i 2 suma krawędzi wynosi 40, a pole powierzchni 62 — dwie zupełnie różne liczby i dwie różne jednostki. Pomaga pytanie kontrolne: suma krawędzi to długość drutu na szkielet, a pole powierzchni to ilość papieru na oklejenie.

Druga pomyłka to liczenie tylko widocznych krawędzi. Na rysunku widać dziewięć linii ciągłych, a trzy przerywane łatwo przeoczyć, więc w odpowiedzi pojawia się 9 zamiast 12. Ten sam mechanizm działa przy ścianach: widoczne są trzy, a bryła ma 6.

Trzecia pomyłka dotyczy pola powierzchni liczonego bez podwojenia. Uczeń dodaje pola trzech różnych ścian, otrzymuje 31 i wpisuje tę liczbę jako wynik, zapominając, że każda ściana ma swoją bliźniaczkę po drugiej stronie bryły. Poprawny wynik to 2 × 31 = 62.

Czwarta pułapka siedzi w zadaniach o pudełku bez wieka. Treść mówi wyraźnie „otwarte z góry”, a rachunek i tak obejmuje sześć ścian. Warto przy czytaniu podkreślić to słowo i od razu dopisać na brudno, która ściana wypada.

Piąta pomyłka to uznawanie każdego rysunku z sześciu kwadratów za siatkę sześcianu. Sześć kwadratów w jednym rzędzie się nie złoży, choć figur jest tyle, ile trzeba. Szósta, najcichsza, to odczytywanie wymiarów linijką z rysunku bryły — krawędzie rysowane w skos są krótsze, niż mówią liczby, i tylko opis zadania jest wiarygodny.

Siódma pomyłka pojawia się w zadaniach odwrotnych dla sześcianu: po podzieleniu pola przez sześć uczeń podaje otrzymaną liczbę jako krawędź. Przy polu 54 wynik 54 : 6 = 9 to pole jednej ściany, a krawędź wynosi 3.

Ostatnia, ósma pomyłka jest językowa i dotyczy słowa „podstawa”. Uczniowie przyjmują z góry, że podstawą jest największa ściana, i liczą ściany boczne od niej. Tymczasem w zadaniu podstawę wyznacza opis tego, jak bryła stoi, i dla tej samej bryły o wymiarach 5, 3 i 2 wysokością może być zarówno 2, jak i 3.