Pola figur — sprawdzian z matematyki, klasa 4

Pole figury to liczba kratek, nie długość

Dział zaczyna się od jednego rozróżnienia i warto poświęcić mu cały pierwszy wieczór. Obwód mierzy drogę wokół figury, czyli długość. Pole mierzy, ile miejsca figura zajmuje, czyli powierzchnię. Dwie różne rzeczy, dwie różne jednostki i dwa różne pytania w zadaniach.

Najprostszy sposób pokazania pola to kratka. Narysuj prostokąt na papierze w kratkę i policz kratki w środku. Prostokąt o szerokości sześciu i wysokości czterech kratek zajmuje ich dwadzieścia cztery, bo 6 × 4 = 24. Policzenie po jednej daje ten sam wynik, tylko dłużej — i właśnie z tego porównania bierze się wzór.

Zanim pojawi się wzór, warto policzyć kratki w kilku figurach, które nie są prostokątami. Litera L ułożona z kratek, schodek, prostokąt z wyciętym kwadratem — wszystkie mają pole, choć żadna nie ma jednego wzoru. Dziecko, które przeszło przez takie liczenie, rozumie, że wzór jest skrótem, a nie definicją pola.

Dobrze jest też od razu pokazać, że pole nie zależy od kształtu. Dwanaście kratek można ułożyć w prostokąt o wymiarach trzy na cztery i w pasek o wymiarach dwa na sześć. Oba mają pole dwunastu kratek, bo 3 × 4 = 12 oraz 2 × 6 = 12, a wyglądają zupełnie inaczej. Ta sama liczba kratek, inny kształt i inny obwód.

W tym dziale kratka jest jednostką pomocniczą, a nie prawdziwą jednostką pola. Prawdziwe jednostki wchodzą w następnej części i mają własne nazwy. Na początek jednak kratka jest najlepsza, bo pozwala policzyć pole bez żadnego wzoru, samym patrzeniem — a to jedyna droga, żeby wzór nie został później zapamiętany jako przypadkowy zbitek liter.

Warto też od razu przyzwyczaić oko do tego, że pole rośnie szybciej niż długość boku. Prostokąt o bokach 3 i 4 zajmuje 3 × 4 = 12 kratek, a po podwojeniu obu boków powstaje prostokąt o bokach 6 i 8, czyli 6 × 8 = 48 kratek. Boki wzrosły dwa razy, a kratek zmieściło się cztery razy więcej, bo 12 × 4 = 48. To spostrzeżenie wraca później w zadaniach o powiększaniu rysunku.

Jednostki pola: centymetr, decymetr i metr kwadratowy

Jednostka pola to zawsze kwadrat o boku równym jednostce długości. Z centymetra powstaje centymetr kwadratowy, z metra metr kwadratowy. Nazwa „kwadratowy” nie jest ozdobą — mówi dokładnie, jaką figurę przykładamy do powierzchni, żeby ją zmierzyć.

Zadania z arkusza rzadko proszą o obliczenia na jednostkach, a prawie zawsze o ich dobranie. Pole kartki podajemy w centymetrach kwadratowych, pole pokoju w metrach kwadratowych, pole gminy w kilometrach kwadratowych. Odpowiedź z dobrą liczbą i złą jednostką nie dostaje punktu, bo mówi coś zupełnie innego, niż chciało zadanie.

Drugie typowe polecenie każe uzupełnić jednostkę w gotowym zdaniu. Przykład brzmi: boisko ma pole pięciuset… — i tu trzeba dopisać metry kwadratowe, bo w centymetrach liczba byłaby ogromna, a w kilometrach znikomo mała. To zadanie sprawdza wyobraźnię, nie rachunek, i dobrze wypada po jednym spacerze z metrówką po mieszkaniu.

Zamiana jednostek pola, czyli przeliczanie centymetrów kwadratowych na decymetry, czeka w klasie piątej. W klasie czwartej wystarczy wiedzieć, że jednostki pola są kwadratowe, umieć je nazwać i dobrać do sytuacji. Warto jednak raz pokazać, dlaczego ta zamiana nie jest oczywista: w kwadracie o boku jednego decymetra mieści się dziesięć rzędów po dziesięć centymetrowych kwadracików, a nie dziesięć sztuk. Jedno zdanie teraz oszczędza kilka pomyłek za rok.

Przy zapisie jednostek pomaga jedna prosta zasada: mała dwójka u góry mówi, że liczymy kwadraciki, a nie odcinki. Dlatego wynik 24 cm to długość, a wynik 24 cm kwadratowe to powierzchnia, i te dwie liczby nie mogą stać w jednym zdaniu jako to samo. Kiedy w zadaniu pojawia się słowo „powierzchnia blatu” albo „ile kartonu potrzeba”, jednostka zawsze będzie kwadratowa.

Wzór na pole prostokąta

Wzór bierze się wprost z liczenia kratek. W prostokącie kratki układają się w rzędy — tyle rzędów, ile wynosi jeden bok, i tyle kratek w rzędzie, ile wynosi drugi. Zamiast liczyć je po kolei, mnożymy: pole prostokąta to długość pomnożona przez szerokość.

Prostokąt o wymiarach sześć na cztery centymetry ma pole dwudziestu czterech centymetrów kwadratowych, bo 6 × 4 = 24. Prostokąt siedem na trzy ma pole dwudziestu jeden, bo 7 × 3 = 21. Prostokąt dwanaście na trzy daje 12 × 3 = 36.

Dwie rzeczy w tym wzorze są pułapką. Pierwsza to jednostka wyniku: mnożymy centymetry przez centymetry, a wynik podajemy w centymetrach kwadratowych. Druga to kolejność — nie ma żadnej, bo mnożenie jest przemienne i prostokąt sześć na cztery ma takie samo pole jak cztery na sześć.

Trzecia rzecz nie jest pułapką, a warunkiem: oba boki muszą być podane w tej samej jednostce. Jeśli zadanie mówi o prostokącie o wymiarach dwa decymetry na trzydzieści centymetrów, trzeba najpierw sprowadzić je do jednej jednostki, a dopiero potem mnożyć. W klasie czwartej takie zadanie pojawia się rzadko i zwykle jest oznaczone gwiazdką, ale warto o tym wiedzieć, bo pomnożenie dwójki przez trzydzieści daje liczbę bez sensu.

Na koniec sprawdzenie, które działa zawsze: pole policzone wzorem musi zgadzać się z liczbą kratek, jeśli figurę da się narysować w kratce. Przy małych liczbach to najszybsza kontrola, jaką ma czwartoklasista.

Wzór działa też wtedy, gdy jeden z boków jest podany w innej kolejności niż na rysunku, bo mnożenie jest przemienne. Prostokąt o bokach 9 i 5 ma pole 9 × 5 = 45, a prostokąt o bokach 5 i 9 ma pole 5 × 9 = 45 — to ta sama figura obrócona o kwadrans. Dlatego nie trzeba za każdym razem szukać, który bok jest „długością”, a który „szerokością”.

Pole kwadratu i jego związek z kwadratem liczby

Kwadrat jest prostokątem o równych bokach, więc jego pole liczy się tym samym wzorem — tylko oba czynniki są jednakowe. Pole kwadratu to bok pomnożony przez bok. Kwadrat o boku pięciu centymetrów ma pole dwudziestu pięciu centymetrów kwadratowych, bo 5 × 5 = 25. Kwadrat o boku ośmiu daje 8 × 8 = 64.

Tu domyka się coś, co uczeń spotkał już w dziale o działaniach: kwadrat liczby. Nazwa nie jest przypadkowa — kwadrat liczby pięć to dokładnie pole kwadratu o boku pięć. Dlatego tabela kwadratów liczb od dwójki do dziesiątki przydaje się w geometrii tak samo jak w rachunkach i warto ją znać bez liczenia.

Najczęstsza pomyłka w tej części działu jest ta sama co w arytmetyce: pomnożenie boku przez dwa zamiast przez siebie. Kwadrat o boku czterech centymetrów ma pole szesnastu, bo 4 × 4 = 16, a nie ośmiu. Osiem wychodzi z mnożenia przez dwa i jest liczbą z zupełnie innego zadania — z obwodu policzonego w połowie.

Pole kwadratu daje też najprostszą drogę do zadań odwrotnych, od których zaczyna się następna część. Jeśli kwadrat ma pole trzydziestu sześciu centymetrów kwadratowych, to jego bok wynosi sześć, bo 6 × 6 = 36. Takie zadanie rozwiązuje się przez zgadywanie z tabeli kwadratów, a nie przez dzielenie — i to zupełnie wystarcza w klasie czwartej.

Kwadraty liczb warto mieć w pamięci do dziesięciu, bo wtedy pole kwadratu odczytuje się bez rachunku. Przydaje się także ruch w drugą stronę: jeśli pole kwadratu to 64, bok ma długość 8, bo 8 × 8 = 64. Takie pary liczb — 6 i 36, 7 i 49, 9 i 81 — pojawiają się w arkuszu najczęściej, bo mieszczą się w tabliczce mnożenia.

Zadania odwrotne: znane pole, szukany bok

Zadanie odwrotne podaje pole i jeden bok, a pyta o drugi. Rozwiązuje się je dzieleniem, bo dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Jeśli prostokąt ma pole dwudziestu czterech centymetrów kwadratowych i jeden bok długości sześciu centymetrów, drugi bok wynosi cztery, bo 24 : 6 = 4.

Sprawdzenie jest obowiązkowe i zajmuje jeden rachunek: policzony bok pomnożony przez znany musi dać podane pole. Przy pierwszym wierszu tabeli 4 × 6 = 24, więc wynik jest dobry. Ten nawyk ratuje całe zadanie, bo przy dzieleniu w pamięci łatwo pomylić się o jeden rząd.

Trzeci wiersz to przypadek kwadratu i rozwiązuje się go inaczej. Nie dzielimy, bo nie znamy żadnego boku — szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje podane pole. Przy polu trzydziestu sześciu jest to szóstka, przy polu stu dziesiątka. Dlatego tabela kwadratów liczb jest w tym dziale narzędziem, a nie ciekawostką.

Zadania odwrotne pojawiają się w arkuszu także w wersji z obwodem, i to jest konstrukcja na najwyższą punktację. Brzmi tak: prostokąt ma pole dwudziestu czterech centymetrów kwadratowych i jeden bok długości sześciu, ile wynosi jego obwód? Trzeba wtedy wykonać dwa kroki: najpierw znaleźć drugi bok, bo 24 : 6 = 4, a potem policzyć obwód z obu boków. Pierwszy krok jest z pola, drugi z obwodu — i właśnie to połączenie sprawdza, czy uczeń rozróżnia oba pojęcia.

W zadaniach odwrotnych łatwo pomylić działanie, dlatego dobrze zapisać wzór i dopiero potem podstawić liczby. Jeśli pole wynosi 56, a jeden bok ma 7, drugi bok wynika z dzielenia: 56 : 7 = 8. Sprawdzenie zajmuje chwilę, bo wystarczy pomnożyć wynik przez znany bok, czyli 8 × 7 = 56. Kiedy iloczyn wraca do podanego pola, odpowiedź jest pewna.

Figury złożone na kratce: dzielenie na prostokąty

Figury w arkuszu rzadko są samymi prostokątami. Najczęściej mają kształt litery L, schodka albo prostokąta z wyciętym narożnikiem. Wszystkie liczy się dwoma sposobami i warto znać oba, bo w różnych zadaniach wygodny jest inny.

Sposób pierwszy to dzielenie na prostokąty. Przeprowadzasz jedną linię, otrzymujesz dwa prostokąty, liczysz oba pola i dodajesz je. Figura złożona z prostokąta sześć na cztery oraz prostokąta trzy na dwa ma pole trzydziestu kratek, bo 6 × 4 = 24, następnie 3 × 2 = 6, a na koniec 24 + 6 = 30.

Sposób drugi to uzupełnianie do prostokąta. Dorysowujesz brakujący narożnik, liczysz pole dużego prostokąta i odejmujesz pole dorysowanej części. Przy figurze wpisanej w prostokąt osiem na pięć z wyciętym kwadratem trzy na dwa rachunek wygląda tak: 8 × 5 = 40, potem 3 × 2 = 6, a na końcu 40 − 6 = 34.

Wybór sposobu zależy od figury. Jeśli brakujący kawałek jest mały, szybsze jest uzupełnianie. Jeśli figura rozpada się na dwa wyraźne prostokąty, lepsze jest dzielenie. Oba dają ten sam wynik i oba są punktowane tak samo, więc nie ma tu lepszej metody — jest tylko wygodniejsza w danym zadaniu.

Jedna rada techniczna warta punktu: zaznacz podział ołówkiem na rysunku i podpisz wymiary każdej części. Dzieci liczą te figury w pamięci i gubią jeden bok, bo wymiar części nie jest podany w zadaniu i trzeba go odczytać z kratek.

Przy figurach złożonych opłaca się narysować linię podziału ołówkiem i opisać każdą część osobno, zanim cokolwiek się policzy. Jeden podział daje na przykład prostokąty o polach 4 × 3 = 12 i 2 × 5 = 10, a całość to 12 + 10 = 22. Drugi podział tej samej figury da inne składniki, ale ta sama suma musi wyjść na końcu — to najlepsza kontrola rachunku.

Połówki kratek, czyli trójkąty w kratce

Niektóre figury w arkuszu mają boki ukośne i wtedy kratki na brzegu są przecięte na pół. To nie komplikacja, a dodatkowa umiejętność: połówki zlicza się osobno i składa parami.

Procedura ma trzy kroki. Najpierw policz kratki całe, które leżą w środku figury. Potem policz kratki przecięte dokładnie na pół. Na koniec dodaj: dwie połówki dają jedną całą kratkę. Jeśli całych jest dziesięć, a połówek sześć, to z połówek powstają trzy kratki, bo 6 : 2 = 3, a pole figury wynosi trzynaście kratek, bo 10 + 3 = 13.

Najprostszym przypadkiem jest trójkąt będący połową prostokąta. Przekątna dzieli prostokąt na dwie jednakowe części, więc pole takiego trójkąta to połowa pola prostokąta. Przy prostokącie cztery na trzy rachunek jest krótki: 4 × 3 = 12, a potem 12 : 2 = 6.

Wzór na pole trójkąta należy do klasy piątej i w tym dziale nie jest potrzebny. Liczenie kratek i połówek daje ten sam wynik, a przy okazji buduje obraz, na którym ten wzór potem stanie: połowa prostokąta o tej samej podstawie i wysokości.

Jedna pułapka pojawia się w arkuszach regularnie. Nie każda przecięta kratka jest połówką — przy bardziej ukośnych bokach bywa, że część jest mniejsza lub większa od połowy. Takie figury w klasie czwartej są konstruowane tak, żeby przecięcia wypadały dokładnie na pół, ale warto na to spojrzeć, zanim zacznie się liczyć.

Trójkąt w kratce najłatwiej policzyć, gdy jego dwa boki leżą na liniach siatki. Wtedy wystarczy dorysować brakującą część do prostokąta i wziąć połowę. Prostokąt o bokach 8 i 3 ma pole 8 × 3 = 24, a trójkąt wycięty po przekątnej zajmuje 24 : 2 = 12 kratek. Ten sam sposób ratuje przy figurach, w których trójkąt jest tylko dodatkiem do prostokąta.

Obwód czy pole — jak rozpoznać, o co pyta zadanie

Najwięcej punktów w tym dziale przepada nie na rachunku, a na odczytaniu pytania. Zadanie o ogrodzeniu, listwie, taśmie albo sznurku pyta o obwód. Zadanie o farbie, trawie, płytkach albo tapecie pyta o pole. Słowa w treści są wskazówką mocniejszą niż liczby.

Warto przeliczyć jeden prostokąt na dwa sposoby i zobaczyć różnicę. Prostokąt sześć na cztery centymetry: obwód policzymy z sumy dwóch boków, czyli 6 + 4 = 10, a potem 10 × 2 = 20, co daje dwadzieścia centymetrów. Pole to 6 × 4 = 24, czyli dwadzieścia cztery centymetry kwadratowe. Dwie liczby, dwie jednostki, jedna figura.

Jeszcze lepszym ćwiczeniem jest para prostokątów o jednakowym obwodzie. Prostokąt sześć na cztery i prostokąt osiem na dwa mają ten sam obwód, bo 8 + 2 = 10, a potem 10 × 2 = 20. Ich pola są jednak różne: pierwsze to 6 × 4 = 24, drugie 8 × 2 = 16. Z tego porównania wynika rzecz najważniejsza w całym dziale: pole i obwód nie są ze sobą powiązane i z jednego nie da się wyliczyć drugiego.

Trzeci wiersz tabeli domyka obraz: kwadrat o boku pięciu centymetrów ma taki sam obwód jak oba prostokąty, a pole największe ze wszystkich. Przy tym samym obwodzie najwięcej miejsca zajmuje właśnie kwadrat i to spostrzeżenie bywa w arkuszu osobnym zadaniem na uzasadnienie.

Jednostka jest tu ostatnim sprawdzeniem. Jeśli w odpowiedzi stoi centymetr, mowa o obwodzie; jeśli centymetr kwadratowy, o polu. Dziecko, które sprawdza jednostkę przed oddaniem kartki, wyłapuje tę pomyłkę samo.

Pomaga też szybki test słowny: obwód odpowiada na pytanie „ile sznurka na brzeg”, a pole na pytanie „ile farby na środek”. Dla prostokąta o bokach 6 i 4 obwód to 6 + 4 + 6 + 4 = 20, a pole to 6 × 4 = 24. Dwie różne liczby, dwa różne pytania — i dwie różne jednostki w odpowiedzi, co bywa punktowane osobno.

Plan powtórki: trzy wieczory z kartką w kratkę

Ten dział powtarza się ołówkiem, nie czytaniem. Wszystkie trzy wieczory wymagają kartki w kratkę i linijki, bo każda umiejętność z tego działu jest umiejętnością rysunkową.

Pierwszy wieczór jest najważniejszy pojęciowo i najłatwiejszy wykonawczo. Chodzi o to, żeby dziecko samo narysowało kilka figur i policzyło kratki, zanim pojawi się jakikolwiek wzór. Dziesięć minut rysowania daje tu więcej niż godzina tłumaczenia.

Drugi wieczór to rachunki i jedno pytanie kontrolne po każdym: czy wynik ma jednostkę kwadratową. Zadania odwrotne warto robić w parach z zadaniami zwykłymi, bo wtedy widać, że dzielenie jest tylko odwróceniem mnożenia, a nie nową regułą.

Trzeci wieczór łączy wszystko i dopiero on pokazuje, czy rozróżnienie pola i obwodu jest pewne. Jeśli zostało jedno popołudnie, weź z niego dwie rzeczy: figury złożone i parę prostokątów o jednakowym obwodzie. Pierwsza daje najwięcej punktów w arkuszu, druga wyłapuje najczęstszy błąd. Pełny arkusz warto napisać w jednym podejściu i na czas, a potem przejść klucz zadanie po zadaniu, zapisując, które pomyłki się powtórzyły.

Na koniec każdego wieczoru warto zrobić jedno zadanie z poprzedniego dnia bez patrzenia w notatki. Jeśli wynik zgadza się za pierwszym razem, temat siedzi; jeśli nie, wraca się tylko do tego jednego miejsca, a nie do całego działu. Taki krótki powrót kosztuje kilka minut, a przed sprawdzianem zostawia dużo mniej białych plam.

Jak wygląda nasz arkusz do tego działu

Arkusz otwierają dwie figury narysowane w kratce — jedna prostokątna, druga w kształcie litery L — do policzenia bez wzoru. Potem jest zadanie na dobranie jednostki do pięciu powierzchni, od znaczka pocztowego do boiska. Trzecia część to cztery pola prostokątów i kwadratów z podanych wymiarów, a czwarta dwa zadania odwrotne: w jednym szukany jest bok prostokąta, w drugim bok kwadratu. Dalej czekają dwie figury złożone, jedna do podziału na prostokąty i jedna do uzupełnienia, oraz trójkąt w kratce będący połową prostokąta. Zamyka arkusz zadanie z życia: dwa prostokątne pokoje o podanych wymiarach i pytanie, ile metrów kwadratowych wykładziny trzeba kupić.

Do każdego działu przygotowujemy parę arkuszy o takim samym zestawie zadań i takiej samej liczbie punktów, różniących się wymiarami figur i liczbami w treści, a obok nich krótszą kartkówkę na same wzory. Odpowiedzi znajdują się w osobnym podfolderze, a punktacja jest w nich rozbita na kroki, więc widać, w którym miejscu rozwiązanie się urwało. Pliki są gotowymi do druku PDF-ami w formacie A4, z rysunkami w kratce o takiej samej skali jak w arkuszu. Zadania są autorskie i ułożone według podstawy programowej MEN, a nie według jednej serii podręczników.

Każda wersja arkusza ma ten sam układ i tę samą liczbę punktów, więc można zrobić jedną, omówić błędy, a drugą zostawić na dzień przed sprawdzianem. Klucz podaje nie tylko odpowiedź, lecz także punkty za poszczególne kroki, dzięki czemu widać, czy pomyłka siedziała w rachunku, czy w odczytaniu rysunku.

Najczęstsze błędy i pułapki

Zestawienie pochodzi z zadań, w których rysunek i rachunek są poprawne, a punktu nie ma. Każdy z tych błędów wychodzi w jednym pełnym podejściu do arkusza w domu.

Dwie sprawy wymagają osobnego zdania. Pierwsza to odpowiedź na inne pytanie, niż zadano. Zadanie o ogrodzeniu działki policzone wzorem na pole daje liczbę poprawną rachunkowo i bezużyteczną w treści — a to najczęstsza strata punktów w całym dziale. Lekarstwo jest jedno: przed liczeniem podkreśl w zadaniu słowo, które mówi, czego szukamy, i dopisz przy nim „pole” albo „obwód”.

Druga to pośpiech przy figurach złożonych. Podział na prostokąty wykonany w głowie prawie zawsze gubi jeden wymiar, bo nie wszystkie są podane w treści i część trzeba odczytać z rysunku. Trzy sekundy na dopisanie wymiarów ołówkiem zwracają się natychmiast.

Ostatnia pułapka jest językowa: zadanie czasem prosi o wynik w innej jednostce niż ta na rysunku, a uczeń liczy poprawnie i traci punkt na ostatniej linijce. Dlatego warto podkreślić w treści jednostkę, zanim zacznie się rachunek, i wrócić do tego podkreślenia przy zapisywaniu odpowiedzi.